第 4 章 计数原理（排列组合与二项式定理）

【这章高考能拿几分】

为什么排第 4 章，而且把"二项式定理"写在前面？

因为这一章里其实装着两块难度差别很大的内容：

所以本章的学习重点是二项式定理。 排列组合只需掌握基本模型， 不要求你成为计数高手。

⚠️ 说实话：排列组合是本章最容易丢分的地方，
因为它不靠计算，靠思路清不清晰。
但它的 5 分值得你花 2 小时学基本模型，因为高考的排列组合题
大部分是"标准模型"（相邻、不相邻、分组），
只要你能辨认出是哪个模型，就能套方法。

【必须背住的核心概念】

第一部分：两个基本原理（计数的基础）

① 分类加法计数原理

做一件事，有 $n$ 类互不相同的办法： 第 1 类有 $m_1$ 种，第 2 类有 $m_2$ 种，……，第 $n$ 类有 $m_n$ 种。 那么完成这件事共有

人话解释："分类"就用加法。

判断标准：如果这几类办法里的任何一类单独拿出来都能完成任务， 那就用加法。

生活类比：从北京到上海，你可以坐飞机（有 5 个航班）或者坐高铁（有 8 个车次）。 因为你只要选一种就行，所以一共 $5 + 8 = 13$ 种走法。

② 分步乘法计数原理

做一件事，需要分成 $n$ 个步骤，缺一步都不行： 第 1 步有 $m_1$ 种，第 2 步有 $m_2$ 种，……，第 $n$ 步有 $m_n$ 种。 那么完成这件事共有

人话解释："分步"就用乘法。

判断标准：如果每一步都只是完成整件事的一部分，必须全都做完才行， 那就用乘法。

生活类比：要去上海，先坐公交到火车站（3 条线路），再坐高铁到上海（8 个车次）。 3 段和 8 个车次都得选，所以是 $3 \times 8 = 24$ 种走法。

⭐ 一句话记牢：

第二部分：排列与组合

核心区别只有一条：

什么叫"有序"？ 交换两个元素的位置，会得到不同的结果，那就是有序。

举例对比：

⭐ 判断口诀："要不要分先后、要不要定身份？要 → 排列；不要 → 组合。"

第三部分：两个公式（必须背到滚瓜烂熟）

① 排列数公式

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素排成一排的排列数：

（一共 $m$ 个因数，从 $n$ 开始，每次减 1。）

记忆方法："从 $n$ 开始往下乘，乘 $m$ 个数。"

例如：

特例（全排列）：$A_n^n = n(n-1)\cdots \times 2 \times 1 = n!$

② 组合数公式

从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数：

记忆方法："先按排列算，再除以 $m!$（把顺序的去重）。"

为什么除以 $m!$？ 因为排列多算了。比如从 3 个人里选 2 个人： 排列 $A_3^2 = 6$，把"甲乙"和"乙甲"算了两次，但组合只算一次。 $m = 2$ 时，每个组合被重复算了 $2! = 2$ 次。 所以 $C_3^2 = 6 \div 2 = 3$。

例如：

③ 组合数的两条性质（会考）

第二条的用法： $C_{10}^8 = C_{10}^{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$（换小的那个算，省事）。

⭐ 常用阶乘值（背下来，考试不用现场推）：

⭐ 常用组合数值（看到就要认出来）：

第四部分：5 个必会的排列组合模型

⭐ 捆绑法与插空法的口诀：

第五部分：二项式定理（本章重点，必须全对）

① 二项式定理（展开式）

人话解释：把 $(a+b)^n$ 展开，每一项都是 "一个组合数 $\times$ $a$ 的若干次方 $\times$ $b$ 的若干次方"， 而且 $a$ 的指数与 $b$ 的指数之和永远等于 $n$。

② 通项公式（⭐做题只用这一个）

逐字解释：

• $T_{r+1}$ 表示第 $r+1$ 项（下标比 $r$ 大 1，别搞混！）；
• $C_n^r$ 是组合数（这个数会算就行）；
• $a$ 的指数是 $n - r$，$b$ 的指数是 $r$，两者加起来等于 $n$；
• $r$ 的取值范围是 $0 \le r \le n$。

⚠️ 最容易错的地方：下标是 $r+1$，指数是 $r$。
想求"含 $x^4$ 的项"，你要先通过指数关系解出 $r$，
那这一项就是第 $r+1$ 项，用 $C_n^r$ 算系数。
题目问"第几项"时别写错下标，问"系数"时只需写那个数。

③ 求"某一项"的通用三步（背下来）

1. 写出通项 $T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r$；
2. 把变量（如 $x$）的指数化简成一个关于 $r$ 的式子，令它等于目标指数， 解出 $r$；
3. 把 $r$ 代回通项，算出那个组合数，得到系数。

④ 二项式系数 vs 项的系数（极其容易混！）

举例：在 $(x-2)^6$ 中，$x^4$ 项是 $C_6^2 x^4 (-2)^2 = 15 \cdot 4\, x^4 = 60x^4$。

• 它的二项式系数是 $C_6^2 = 15$；
• 它的系数是 $60$。

区别在于：系数要把 $(-2)^2$ 这种数字一起算进去，二项式系数不算。

⑤ 两个"白送分"的结论

结论一：二项式系数之和

结论二：赋值法求"各项系数之和"

求 $(a+b)^n$ 展开式里所有项的系数之和，只需令变量 $= 1$。

举例：求 $(1-2x)^5$ 展开式的各项系数之和。

把 $x = 1$ 代进去：

答案就是 $-1$。不用展开，一秒出答案。

第六部分：最容易错的 6 个坑

【手把手例题】

规矩照旧：想 30 秒 → 想不出就看解析并抄下来 → 遮住答案再做一遍。

例 1（分类加法 vs 分步乘法）

题目：书架上有 5 本不同的语文书和 4 本不同的数学书。

（1）从中任取 1 本书，有多少种取法？

（2）从中取出 1 本语文书和 1 本数学书，有多少种取法？

思路分析： 先判断是"分类"还是"分步"。

• （1）"任取 1 本" —— 取到语文书或者取到数学书，都算完成任务，所以是分类 → 加法。
• （2）"1 本语文书和 1 本数学书" —— 两件事都得做，所以是分步 → 乘法。

完整步骤：

（1）分类加法

任务可以用两类办法完成： - 第 1 类：取语文书，有 $5$ 种； - 第 2 类：取数学书，有 $4$ 种。

任取 1 本就是这两类中的任意一种，所以：

答：9 种。

（2）分步乘法

完成"取 1 本语文书和 1 本数学书"要分两步： - 第 1 步：取 1 本语文书，有 $5$ 种； - 第 2 步：取 1 本数学书，有 $4$ 种。

两步都做完才算完成，所以：

答：20 种。

总结：这道题的两个小问看起来很像，但结果完全不同。
判断的关键就是那一句话："或者"用加法，"并且"用乘法。
考试时先在题目上圈出"或"和"且"，再动笔。

例 2（排数字——"首位不能是 0"）

题目：用 $0, 1, 2, 3, 4$ 这五个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

思路分析： "三位数"意味着百位不能是 $0$。 所以百位是特殊位置，必须优先处理。

完整步骤：

第 1 步，先安排百位（特殊位置优先）。

百位不能是 $0$，所以只能从 $1, 2, 3, 4$ 四个数字里选：

第 2 步，安排十位。

用掉了一个数字后，还剩下 $4$ 个数字（包含 $0$）。 十位没有限制，所以从剩下的 $4$ 个里选 $1$ 个：

第 3 步，安排个位。

现在还剩 $3$ 个数字没用：

第 4 步，分步相乘。

答：48 个。

如果忘了"百位不能是 0"会怎样？
你会算成 $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$，答案就错了。
60 和 48 差了 12 个，正好是"以 0 开头的两位数"的数量
（$0$ 打头，后两位从 $1,2,3,4$ 里选两个排列：$A_4^2 = 12$）。
验算方法：$60 - 12 = 48$ ✓

例 3（组合——选人不用排队）

题目：从 $6$ 名同学中选出 $3$ 人参加座谈会，有多少种选法？

思路分析： "选出 3 人参加座谈会" —— 这 3 个人地位一样，没有谁先谁后， 所以是组合，用 $C$。

完整步骤：

第 1 步，判断类型：无序 → 组合。

第 2 步，写出组合数：

第 3 步，套公式计算：

分子：$6 \times 5 = 30$，$30 \times 4 = 120$；

分母：$3 \times 2 = 6$，$6 \times 1 = 6$。

答：20 种。

对比一下：如果题目改成"选出 3 人分别担任班长、学习委员、体育委员"，
那就变成排列了，答案是 $A_6^3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$。
同样选 3 个人，一个"排队"就把答案从 20 变成 120。
所以判断有序无序，是这类题的第一要务。

例 4（捆绑法——"必须相邻"）

题目：$4$ 名男生和 $3$ 名女生站成一排， 要求 $3$ 名女生必须站在一起，共有多少种排法？

思路分析： "必须站在一起" —— 这就是捆绑法的标准信号。

完整步骤：

第 1 步，把 3 名女生捆成一个"整体"。

想象把 3 个女生用绳子绑在一起，看成一个大元素。

现在我们要排的是：$4$ 名男生 $+$ $1$ 个"女生团" $= 5$ 个元素。

第 2 步，排这 5 个元素。

$5$ 个不同元素排成一排，有

第 3 步，⭐ 别忘了排"团内"的顺序。

虽然女生绑在一起了，但她们内部谁站左谁站右，也是不同的排法。 $3$ 名女生内部排列有

第 4 步，分步相乘。

总面积的分步：先排整体，再排内部，两步都要做，所以用乘法：

答：720 种。

⚠️ 这一步（第 3 步）是捆绑法最经典的丢分点。
很多人算完 $5! = 120$ 就直接写答案了，忘了乘 $3! = 6$。
记牢：捆绑法 = 排整体 × 排内部。

例 5（插空法——"不能相邻"）

题目：$4$ 名男生站成一排，现要让 $3$ 名女生站进去， 要求任意两名女生都不相邻，共有多少种排法？

思路分析： "不能相邻" —— 这就是插空法的标准信号。

完整步骤：

第 1 步，先排"别人"（也就是不受限制的 4 名男生）。

第 2 步，看排完之后形成了几个"空"。

$4$ 名男生排好后，两边和中间一共形成 $4 + 1 = 5$ 个空位：

  _  M  _  M  _  M  _  M  _
  ↑     ↑     ↑     ↑     ↑

（图中 M 代表男生，_ 代表空位；箭头指向的位置就是"可以塞一个女生"的空。）

第 3 步，从这 5 个空里选 3 个，把女生塞进去。

因为女生不能相邻，所以每个空最多只能站 1 名女生。 从 5 个空里选 3 个，并且女生之间也要排顺序：

第 4 步，分步相乘。

答：1440 种。

⭐ 为什么"$n$ 个人形成 $n+1$ 个空"？
因为除了人与人之间的空隙，两端也各有一个空。
$4$ 个人：空 男 空 男 空 男 空 男 空 → 数一数，$5$ 个空 ✓

验算（换个算法对答案）：
也可以这么想 —— 先从 $5$ 个空里选出 $3$ 个空（组合），
再把 $3$ 名女生放进这 3 个空并排顺序（排列）：

和 $A_5^3 = 60$ 完全一样 ✓
（这是因为 $A_5^3 = C_5^3 \times 3!$，两种算法本质是同一件事。）

比较一下两道题：
- 例 4（相邻）：$5! \times 3! = 120 \times 6 = 720$
- 例 5（不相邻）：$4! \times A_5^3 = 24 \times 60 = 1440$

同样的人、同样的要求，方法换了，答案就完全不一样。
所以审题时一定要圈出"相邻"还是"不相邻"。

例 6（二项式定理求特定项，2022 上海卷真题）

题目：在 $\left(x^3 + \dfrac{1}{x}\right)^{12}$ 的展开式中，含 $\dfrac{1}{x^4}$ 项的系数为 ______。

思路分析： 看到"展开式中含某项"，立刻写通项。 通项写出来之后，$x$ 的指数会变成一个关于 $r$ 的式子， 令它等于目标指数，解出 $r$，再回去算系数。

完整步骤：

第 1 步，写通项。

这里 $a = x^3$，$b = \dfrac{1}{x}$，$n = 12$。通项：

第 2 步，把 $x$ 的指数化简。

先处理 $(x^3)^{12-r}$：这是幂的乘方，指数相乘：

再处理 $\left(\dfrac{1}{x}\right)^r$：$\dfrac{1}{x} = x^{-1}$，所以

两者相乘，同底数幂相乘，指数相加：

所以通项化简为：

第 3 步，令指数等于目标指数。

题目要的是 $\dfrac{1}{x^4}$，也就是 $x^{-4}$。所以：

解这个方程：

第 4 步，把 $r = 10$ 代回通项，算系数。

用性质 $C_n^m = C_n^{\,n-m}$ 简化计算：

所以含 $\dfrac{1}{x^4}$ 的项是

答：系数为 $66$。

回顾三步：写通项 → 令指数相等解 $r$ → 代回算组合数。
这三步在所有的"求某项系数"题里完全一样，一个字都不用变。

例 7（求常数项）

题目：求 $\left(2x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^{6}$ 展开式中的常数项。

思路分析： "常数项"就是不含 $x$ 的项，也就是 $x$ 的指数为 $0$ 的项。 所以还是老套路：写通项 → 令指数 $=0$ → 解 $r$ → 代回。

完整步骤：

第 1 步，写通项。

$a = 2x^2$，$b = -\dfrac{1}{x}$，$n = 6$。

第 2 步，把每一项都拆开（数字归数字、$x$ 归 $x$）。

先处理 $(2x^2)^{6-r}$： - 数字部分：$2^{6-r}$ - 幂部分：$(x^2)^{6-r} = x^{2(6-r)} = x^{12-2r}$

所以 $(2x^2)^{6-r} = 2^{6-r} \cdot x^{12-2r}$。

再处理 $\left(-\dfrac{1}{x}\right)^r$： - 负号部分：$(-1)^r$ - 幂部分：$\left(\dfrac{1}{x}\right)^r = x^{-r}$

所以 $\left(-\dfrac{1}{x}\right)^r = (-1)^r \cdot x^{-r}$。

第 3 步，合并。

把 $x$ 的指数加起来：

所以

第 4 步，令指数为 $0$（因为要求常数项）。

第 5 步，代入 $r = 4$ 求常数项。

逐项算：

• $C_6^4 = C_6^2 = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15$
• $2^{6-4} = 2^2 = 4$
• $(-1)^4 = 1$
• $x^0 = 1$

所以

答：常数项为 $60$。

⚠️ 提醒：算 $(2x^2)^{6-r}$ 的时候，别忘了把系数 $2$ 一起乘方！
很多同学只算了 $x$ 的部分，把 $2^{6-r}$ 漏了，结果算出来是 $15$ 而不是 $60$。
牢记：括号里的每一个因子都要乘方。

分解技巧：遇到 $(2x^2)^{6-r}$ 这种式子，先拆成"数字部分 × 字母部分"，
分开算，最后再乘回去。这样做不容易错。

例 8（赋值法求系数和，白送分）

题目：求 $(1 - 2x)^5$ 展开式中所有项的系数之和。

思路分析： ⭐ 求"所有项的系数之和"，只需要令 $x = 1$。 因为展开式是 $A_0 + A_1x + A_2x^2 + \cdots + A_5x^5$（$A_i$ 就是各项系数）， 把 $x=1$ 代进去，就得到 $A_0 + A_1 + \cdots + A_5$ —— 正好是系数和。

完整步骤：

第 1 步，写出展开式的形式（不用真的展开，知道它长这样就行）：

第 2 步，令 $x = 1$：

第 3 步，算右边：

第 4 步，算 $(-1)^5$。负数奇次方是负数，绝对值是 $1$：

答：$-1$。

变式：如果题目问"二项式系数之和"呢？
那就不是赋值了，而是用公式 $2^n$。这里 $n=5$，所以二项式系数之和 $= 2^5 = 32$。

⭐ 对比记忆：
- 问"系数之和" → 令 $x=1$ 代入
- 问"二项式系数之和" → $2^n$

这两者经常被出成两个选项来坑人。

【模仿练习】

要求：不看书、不看答案，独立完成。
限时 35 分钟。 做对 8 题以上算达标（其中第 8、9、10 题必须全对）。

1. 计算：$C_6^2 =$ ______。

2. 计算：$A_5^3 =$ ______。

3. 从甲地到乙地有 $3$ 条不同的路，从乙地到丙地有 $4$ 条不同的路。 某人从甲地经乙地到丙地，共有 ______ 种不同的走法。

4. 用 $1, 2, 3, 4, 5$ 这五个数字，可以组成 ______ 个 没有重复数字的两位数。

5. $5$ 个人站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻， 共有 ______ 种排法。

6. $5$ 个人站成一排照相，其中甲、乙两人不能相邻， 共有 ______ 种排法。

7. 从 $5$ 名男生和 $4$ 名女生中，选出 $2$ 名男生和 $1$ 名女生 参加比赛，共有 ______ 种选法。

8. $(1+x)^6$ 的展开式中，$x^3$ 的系数为 ______。

9. $\left(x + \dfrac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中的常数项为 ______。

10. $(1-2x)^5$ 的展开式中各项系数之和为 ______。

  _  P  _  P  _  P  _

本章总结（抄一遍，加深印象）

这一章你只需要记住 8 句话：

1. 分类用加法（或），分步用乘法（且）。
2. 有序用排列 $A$，无序用组合 $C$。
3. $A_n^m =$ 从 $n$ 往下乘 $m$ 个数；$C_n^m = \dfrac{A_n^m}{m!}$。
4. $C_n^0 = C_n^n = 1$；$C_n^m = C_n^{\,n-m}$（换成小的算，省力）。
5. 相邻用捆绑（排整体 × 排内部）；不相邻用插空（先排别人，再填空位）。
6. 排数字先看有没有 $0$，有 $0$ 就先安排首位。
7. 二项式通项：$T_{r+1} = C_n^r a^{n-r}b^r$。 求某项 → 写通项 → 令 $x$ 的指数相等 → 解 $r$ → 代回。
8. 系数之和令 $x=1$；二项式系数之和是 $2^n$。

考试时的时间分配建议： - 二项式定理题：2~3 分钟，它一定能做出来； - 排列组合题：给自己 2 分钟。2 分钟内想不清模型，先跳过， 最后回来再说。不要在计数上耗掉半张卷子的时间。

🎉 阶段性提示

恭喜你！到这里，你已经完成了《学渣自救手册》的第一阶段：送分四件套。

你现在应该已经掌握了：

这 20 分，是在高考里"不该丢"的分。

如果现在给你一份真题，你能在 15 分钟内把这 4 道题做完并且全对， 那说明你的基础已经打好了。

下一步：进入第二阶段，攻下大题。 从概率统计开始 —— 那是全卷性价比最高的解答题。