第 1 章 复数
高考分值约 5 分 ｜ 先读信息卡，再按三遍法学习
【这章高考能拿几分】
| 项目 | 情况 |
|---|---|
| 出现在哪 | 单项选择题第 1 题或第 2 题（有时候是多选题里的一个选项） |
| 分值 | 5 分（在多选题里出现则可能有 6 分的相关分） |
| 考不考 | 年年考，几乎 100%。2021、2022、2023、2024、2025 全国卷都有 |
| 难度 | 全卷最低。这一章标的是 ★☆☆（一颗星） |
| 前置知识 | 几乎为零。你只需要会：加、减、乘、除、解一元一次方程 |
为什么我把它排在第 1 章？
因为高考出这道题的目的，就是让学生"开局先拿 5 分，缓解紧张情绪"。 它不会为难你：不会出超复杂的计算，不会绕三道弯，不会和别的章节混在一起考。 它考的全是固定的四种操作——把式子算出来、把实部虚部读出来、 把参数解出来、把模算出来。
说句实话：复数是整本高中数学里，唯一一章"只要不出计算错误就一定能满分"的内容。
你一定要把这 5 分吃干净。
【必须背住的核心概念】
1. 虚数单位 $i$
人话解释：以前我们学的数，平方都是正的（$3^2=9$，$(-3)^2=9$）， 所以"平方等于 $-1$"的数在旧世界里根本不存在。 数学家就发明了一个符号 $i$（叫虚数单位），规定它的平方等于 $-1$。
这就好比你小学时只知道正整数，后来老师告诉你"比 0 还小的数叫负数"—— 数不够用了，就造新的。$i$ 不是什么玄学，它只是一个新记号。
必须背下来的 $i$ 的四次方循环（这个会考！）：
然后每 4 个一循环：$i^5 = i$，$i^6 = -1$，$i^7 = -i$，$i^8 = 1$……
速记口诀：一倍 $i$，二倍 $-1$，三倍 $-i$，四倍 $1$，转圈圈。
怎么算 $i^{2026}$？ 用 2026 除以 4 看余数：
余 2 → 答案是 $-1$。（余 1 是 $i$，余 2 是 $-1$，余 3 是 $-i$，整除是 $1$。）
2. 复数的样子：$z = a + bi$
形如 $z = a + bi$（其中 $a, b$ 都是实数）的数，叫做复数。
- $a$ 叫做这个复数的实部
- $b$ 叫做这个复数的虚部
⚠️ 第一个大坑：虚部是 $b$，不是 $bi$！
比如 $z = 3 + 5i$，实部是 $3$，虚部是 $5$（不是 $5i$）。
3. 复数的分类（三种情况）
看 $z = a + bi$（$a,b \in \mathbb{R}$）里的 $b$：
| 情况 | 条件 | 例子 |
|---|---|---|
| 实数 | $b = 0$ | $3 + 0i = 3$，是实数 |
| 虚数 | $b \neq 0$ | $3 + 5i$、$0 + 5i$ 都是虚数 |
| 纯虚数 | $a = 0$ 且 $b \neq 0$ | $0 + 5i = 5i$ 是纯虚数 |
⚠️ 第二个大坑：判断"纯虚数"必须同时满足两个条件。
很多人只记得"实部等于 0"，忘了"虚部不能等于 0"。
$0 + 0i$ 是实数 $0$，不是纯虚数！
4. 复数相等的判断（这是解题最常用的工具）
人话解释：两个复数要相等，必须实部跟实部相等，虚部跟虚部相等， 两件事全都要满足，缺一不可。
这就像"两个人要一模一样，必须身高相同且体重相同"。 身高对上了体重不对，那还是两个人。
这是求参数题的万能钥匙：题目给你一个复数方程，你就把它化成 "$(\text{实部}) + (\text{虚部})i = 0$"的样子，然后让 实部 = 0 且 虚部 = 0，得到两个方程，解出来就完事。
5. 共轭复数
把 $z = a + bi$ 的虚部变号，得到的新复数叫 $z$ 的共轭复数， 记作 $\bar{z}$：
人话解释：只做一件事——实部不动，虚部前面加个负号。 $3 + 5i$ 的共轭是 $3 - 5i$；$2 - 7i$ 的共轭是 $2 + 7i$；$6i$ 的共轭是 $-6i$。
共轭拿来干什么？ 用来做除法（见下面第 8 条）。
6. 复数的模
复数 $z = a + bi$ 的模记作 $|z|$，公式是：
人话解释：$a$ 和 $b$ 就是坐标，$|z|$ 就是点 $(a,b)$ 到原点的距离。 （跟你在"两点间距离公式"里学的是同一件事：距离 $= \sqrt{x^2+y^2}$。）
例子：$z = 3 + 4i$，则 $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$。
⚠️ 第三个大坑：$|z|$ 算出来一定是个非负实数，不可能是负数，
也不会带着 $i$。
7. 复数的几何意义（看懂这个，能秒杀一类小题）
- 复数的实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
- 所以 $|z|$ 就是点 $Z$ 到原点的距离。
- $|z| = 1$ 的意思是：点 $Z$ 在以原点为圆心、半径 1 的圆上跑。
这一条能解决什么题？ 形如"$|z| = r$，求 $|z - z_0|$ 的最大/最小值"的题—— 翻译成人话就是："点 $Z$ 在圆上跑，求它到定点 $P$ 的距离的范围"。 答案就是： - 最小值 $= |OP| - r$ - 最大值 $= |OP| + r$
8. 复数的四则运算（全部要背）
设 $z_1 = a + bi$，$z_2 = c + di$。
① 加法：实部加实部，虚部加虚部
② 减法：同理
③ 乘法：当成多项式展开，遇到 $i^2$ 就换成 $-1$
操作口诀：展开 → 把 $i^2$ 换成 $-1$ → 合并同类项。
④ 除法（重点！必考！）：分子分母同时乘分母的共轭
为什么要乘共轭？ 因为分母 $(c+di)(c-di) = c^2 + d^2$，$i$ 没了，变成实数。 这叫做"分母实数化"——就像小学学分数时"分母有理化"一样， 目的是把分母里的根号/虚数干掉，变成好算的实数。
你只需要记住这个流程，不需要背那个长公式：
除法三步走：
1. 分子分母同时乘以分母的共轭；
2. 分母算出来是 $c^2+d^2$（一个实数，永远没 $i$）；
3. 分子正常展开，最后拆成"实部 + 虚部 $i$"。
9. 两个"作弊级"结论（考场上能省 1 分钟）
结论一：
人话解释：一个复数乘上它的共轭，结果就是它模的平方，一定是个正实数。 （因为 $(a+bi)(a-bi) = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2$。）
结论二（选择题救命结论）：对任意两个复数 $z_1, z_2$ 都有
这有什么用？ 有些选择题让你算 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|$， 你不用真的把 $\frac{z_1}{z_2}$ 算出来，直接分别算 $|z_1|$ 和 $|z_2|$ 再一除就行， 能省一半时间。
10. 最容易错的 5 个坑（考前必读）
| # | 坑 | 正确做法 |
|---|---|---|
| 1 | 把虚部当成 $5i$ | 虚部是数字 $5$，不带 $i$ |
| 2 | 判断纯虚数只写"实部 $=0$" | 要写"实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$" |
| 3 | 除法时分子分母乘错了对象 | 乘的是分母的共轭，不是分子的 |
| 4 | 算了 $|z|$ 出来带 $i$ | $|z|$ 一定是非负实数，带 $i$ 说明算错了 |
| 5 | 用 $|z_1| = |z_2|$ 推出 $z_1 = z_2$ | 不能推！ $|z|$ 只反映"距离"，不反映方向。$z_1 = 1$ 和 $z_2 = -1$ 模都是 1，但不相等 |
【手把手例题】
做题规矩：
① 先自己看题想 30 秒；
② 想不出来直接往下看解析，把每一步都抄在纸上；
③ 抄完遮住答案，自己再做一遍。
不许跳步。每一步都要落到纸上。
例 1（判断实部虚部，最基础的送分题）
题目：设复数 $z = (m^2-1) + (m^2-3m+2)i$，其中 $m \in \mathbb{R}$。 当 $m$ 取何值时，$z$ 是（1）实数？（2）纯虚数？
思路分析： 这道题考的就是"复数的分类"那一条。判断标准只有两个： - 是实数 → 虚部 $=0$ - 是纯虚数 → 实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$
只要照着条件列方程就行。
完整步骤：
这里 $a = m^2-1$（实部），$b = m^2-3m+2$（虚部）。
（1）$z$ 是实数
要让 $z$ 是实数，必须虚部等于 0：
把它因式分解（十字相乘：$-1 \times (-2) = 2$，$-1 + (-2) = -3$）：
所以
验证：当 $m=1$ 时，$z = (1-1) + 0i = 0$，是实数 ✓； 当 $m=2$ 时，$z = (4-1)+0i = 3$，是实数 ✓。
答：$m = 1$ 或 $m = 2$。
（2）$z$ 是纯虚数
纯虚数要同时满足两个条件：
先解第一个方程：
再看第二个条件，把两个值代进去试：
- 当 $m = 1$ 时，虚部 $= 1 - 3 + 2 = 0$，不满足 $b \neq 0$，舍去；
- 当 $m = -1$ 时，虚部 $= 1 + 3 + 2 = 6 \neq 0$，满足 ✓。
答：$m = -1$。
总结一句话：求完参数一定要回头验算，尤其是"纯虚数"这类带 $\neq$ 的条件。
这一步偷懒，答案就错了。
例 2（复数除法，考试出现频率最高）
题目（2022·天津卷改编）：已知 $i$ 是虚数单位，化简 $\dfrac{11-3i}{1+2i}$ 的结果为 ______。
思路分析： 看到除号，第一反应就是"分子分母同时乘分母的共轭"。 这里分母是 $1+2i$，它的共轭就是 $1-2i$。
完整步骤：
第 1 步，写出分母的共轭：分母 $1+2i$ 的共轭是 $1-2i$。
第 2 步，分子分母同时乘 $1-2i$：
第 3 步，先算分母（分母一定能算成实数）：
第 4 步，再算分子（老老实实展开，一共四项）：
第 5 步，分子除以分母：
答：$1 - 5i$。
总结：分子分母各算各的，最后一步才相除。
千万别一开始就想着"约分"，会把自己绕晕。
例 3（解方程求复数，2021 全国甲卷真题）
题目：已知 $(1-i)^2 z = 3 + 2i$，求 $z$。
思路分析： 这类题叫"以方程的形式给出复数"。做法永远是先化简系数，再把 $z$ 分离出来， 也就是两边同时除以系数——跟你解 $3x = 6$ 是一个道理。
完整步骤：
第 1 步，先把 $(1-i)^2$ 算出来（用完全平方公式展开）：
（这里用了 $i^2 = -1$，所以 $1 + i^2 = 1 - 1 = 0$。）
第 2 步，把原方程改写成：
第 3 步，两边同时除以 $-2i$，把 $z$ 单独留在左边：
第 4 步，做除法。分母是 $-2i$，它的共轭是 $2i$（虚部变号）， 分子分母同时乘 $2i$：
第 5 步，算分母：
第 6 步，算分子：
第 7 步，相除：
答：$z = -1 + \dfrac{3}{2}i$。
小技巧：如果分母是纯虚数（形如 $ki$），乘它的共轭（$-ki$）之后
分母会变成 $k^2$，非常好算。放心大胆地算，不会错。
例 4（复数相等求参数，2022 全国乙卷真题）
题目：已知 $z = 1 - 2i$，且 $z + a\bar{z} + b = 0$，其中 $a, b$ 为实数， 求 $a$ 与 $b$ 的值。
思路分析： 题里同时出现了 $z$ 和 $\bar{z}$，先写出 $\bar{z}$，然后全部代进去。 代入之后会得到一个"实部 + 虚部 $i$ = $0$"的式子。 注意：右边那个 $0$ 要看成 $0 + 0i$，所以实部 $=0$ 且 虚部 $=0$， 得到两个方程，解方程组即可。
完整步骤：
第 1 步，写出共轭：$z = 1 - 2i$，所以
第 2 步，把 $z$、$\bar{z}$ 一起代入 $z + a\bar{z} + b = 0$：
第 3 步，展开 $a(1+2i)$：
所以整个式子变成：
第 4 步，按"实部放一起、虚部放一起"整理：
第 5 步，把右边的 $0$ 写成 $0 + 0i$，用复数相等的条件：
第 6 步，解方程组。
从第二个方程：
把 $a = 1$ 代入第一个方程：
答：$a = 1$，$b = -2$。
总结："一个复数方程 = 两个实数方程"。
这是复数题里最重要的转化思想，一定要记住。
例 5（模的性质，先用捷径再用笨办法验证）
题目（2022·全国甲卷改编）：若 $z = -1 + \sqrt{3}i$，则 $\dfrac{z}{z\bar{z} - 1} =$（ ）
A. $-1 + \sqrt{3}i$ B. $-1 - \sqrt{3}i$ C. $-\dfrac{1}{3} + \dfrac{\sqrt{3}}{3}i$ D. $-\dfrac{1}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{3}i$
思路分析： 分母里有个 $z\bar{z}$，看到它就立刻想到结论：$z\bar{z} = |z|^2$。 这一步能省很多计算。
完整步骤：
第 1 步，算 $|z|^2$：
第 2 步，所以 $z\bar{z} = 4$，代入分母：
第 3 步，原式变成：
第 4 步，把分母 3 分开除到实部和虚部：
答：C。
省时间提示：如果不记得 $z\bar{z} = |z|^2$，
也可以老老实实算 $z\bar{z} = (-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)$，结果同样是 4。
两条路都通，但记住结论能快一倍。
例 6（模的几何意义，一类题的通用解法）
题目：已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z$ 满足 $|z| = 1$， 则 $|z + 1 + i|$ 的最小值为（ ）
A. $\sqrt{2} - 1$ B. $\sqrt{2}$ C. $2\sqrt{2} - 2$ D. $1$
思路分析： 这道题如果硬算（设 $z = x+yi$ 去解方程），会非常麻烦。 但用几何意义看，它其实是一道小学级别的"圆外一点到圆的距离"问题。
翻译过程：
- $|z| = 1$ 的意思是：点 $Z$ 在以原点为圆心、半径 1 的圆上运动；
- $|z + 1 + i| = |z - (-1 - i)|$ 的意思是： 点 $Z$ 到定点 $P(-1,-1)$ 的距离。
（这里用了 $|z - z_0|$ 表示"$z$ 对应的点到 $z_0$ 对应的点的距离"。）
完整步骤：
第 1 步，确定圆。$|z| = 1$ → 圆心 $O(0,0)$，半径 $r = 1$。
第 2 步，确定定点。把 $z + 1 + i$ 改写成 $z - (-1-i)$， 所以定点是 $P(-1, -1)$。
第 3 步，算圆心到定点的距离：
第 4 步，因为点 $P$ 在圆外（$\sqrt{2} > 1$），所以点 $Z$ 到 $P$ 的距离：
- 最小值 $= |OP| - r = \sqrt{2} - 1$（点 $Z$ 在 $P$ 与 $O$ 之间时取到）
- 最大值 $= |OP| + r = \sqrt{2} + 1$（点 $Z$ 在 $P$ 的对面时取到）
题目问最小值，所以答案是 $\sqrt{2} - 1$。
答：A。
踩坑提醒：选项 C 是 $2\sqrt{2}-2 = 2(\sqrt{2}-1)$，是干扰项。
记住结论：圆外一点到圆的最短距离 = 圆心距 − 半径，不用乘 2。
【模仿练习】
要求：不看书、不看答案，独立完成。做完全部 8 题再看后面。
限时 25 分钟。 做对 7 题以上算达标。
1. 复数 $z = (2-i)(1+3i)$ 的虚部是（ ）
A. $5i$ B. $5$ C. $1$ D. $-1$
2. 化简：$\dfrac{2+i}{1-i} =$ ______。
3. 已知 $(1+i)z = 2i$（$i$ 为虚数单位），则 $z =$ ______。
4. 已知复数 $z = 2 + 3i$，则 $|z| =$ ______，$\bar{z} =$ ______。
5. 若复数 $z = (a^2 - 4) + (a - 2)i$ 是纯虚数（$a \in \mathbb{R}$），则 $a =$ ______。
6. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z} = 25$，则 $|z| =$ ______。
7. 已知复数 $z$ 满足 $|z| = 2$，则 $|z - 3 + 4i|$ 的最小值是 ______。
8. 计算 $i^{2026}$ 的值（$i$ 为虚数单位），结果是（ ）
A. $1$ B. $-1$ C. $i$ D. $-i$
答案与思路 —— 做完再看，点我展开
【答案与思路】
对答案的规矩：错了的题，不要只看答案，
要把下面的解析抄一遍，然后明天再做一次。
只对答案不抄过程 = 没做。
第 1 题 答案：B
思路：先把括号展开，化成 $a + bi$ 的标准形式，再读出虚部。
解析：
所以实部是 $5$，虚部是 $5$（不是 $5i$）。
答：B。
坑：选项 A 就是专门坑那些"把虚部当 $5i$"的人。
虚部是一个实数，不带 $i$。
第 2 题 答案：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$
思路：看到除法 → 分子分母同乘分母的共轭。分母 $1-i$ 的共轭是 $1+i$。
解析：
分母：
分子：
相除：
答：$\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i$。
第 3 题 答案：$z = 1 + i$
思路：把 $z$ 分离出来，两边同时除以 $(1+i)$，然后做除法。
解析：
第 1 步，两边同时除以 $(1+i)$：
第 2 步，分子分母同时乘分母的共轭 $1-i$：
第 3 步，算分母：
第 4 步，算分子：
第 5 步，相除：
验证（这一步能救你的命）：$(1+i)(1+i) = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ ✓
和题目给的 $2i$ 一致，说明答案正确。
答：$z = 1 + i$。
强烈建议：复数题算完花 10 秒验算——把答案代回原式看一眼。
复数题的计算量不大，验算成本极低，但能拦住 90% 的低级错误。
第 4 题 答案：$|z| = \sqrt{13}$，$\bar{z} = 2 - 3i$
解析：
共轭就是"实部不动，虚部变号"：
答：$|z| = \sqrt{13}$，$\bar{z} = 2 - 3i$。
注意：$\sqrt{13}$ 已经是最简形式，不要写成 $\sqrt{13} = 3.6$ 之类的小数。
第 5 题 答案：$a = -2$
思路：纯虚数需要两个条件同时满足。
解析：
$z = (a^2-4) + (a-2)i$ 是纯虚数，要求：
第 1 步，解第一个方程：
第 2 步，用第二个条件筛掉不合格的：
- 当 $a = 2$ 时，虚部 $= 2 - 2 = 0$，不满足 $a - 2 \neq 0$，舍去；
- 当 $a = -2$ 时，虚部 $= -2 - 2 = -4 \neq 0$，满足 ✓。
答：$a = -2$。
如果第 2 步偷懒，就会写成"$a = 2$ 或 $a = -2$"，直接丢分。
带 $\neq$ 的条件，永远是筛选项，不能漏。
第 6 题 答案：$|z| = 5$
思路：直接用结论 $z\bar{z} = |z|^2$。
解析：
题目给 $z\bar{z} = 25$，所以
因为 $|z|$ 是非负实数，所以
答：$|z| = 5$。
提醒：这里只需要一个答案 5，不需要写 $\pm 5$。
因为 $|z|$ 代表"距离"，距离不可能是负数。
第 7 题 答案：$3$
思路：绝对值 $|z| = 2$ 表示圆，$|z-3+4i|$ 表示距离。用"圆心距 − 半径"。
解析：
第 1 步，翻译条件：
- $|z| = 2$ → 点 $Z$ 在以原点为圆心、半径 $2$ 的圆上运动；
- $|z - 3 + 4i| = |z - (3 - 4i)|$ → 点 $Z$ 到定点 $P(3, -4)$ 的距离。
第 2 步，算圆心到定点的距离：
第 3 步，判断 $P$ 在圆外：$5 > 2$ ✓（圆的半径是 2）。
第 4 步，最小距离：
（点 $Z$ 取在 $O$、$P$ 连线上、靠近 $P$ 的那一点时，距离最短。）
答：最小值是 $3$。
对比例 6：你会发现这类题的解法完全一样——
算出圆心到定点的距离，再减半径。
换个数就换一道题，方法一个字都不变。这就是"套路"。
第 8 题 答案：B
思路：$i$ 的幂每 4 个循环一次，用指数除以 4 看余数。
解析：
第 1 步，用 2026 除以 4：
（验算：$4 \times 506 = 2024$，$2026 - 2024 = 2$，余数是 2。）
第 2 步，对照规律：
| 余数 | 结果 |
|---|---|
| 1 | $i$ |
| 2 | $-1$ |
| 3 | $-i$ |
| 0（整除） | $1$ |
余数是 2，所以
答：B。
本章总结（抄一遍，加深印象）
这一章你只需要记住 6 句话：
- $i^2 = -1$，$i$ 的幂 4 个一循环（$i, -1, -i, 1$）。
- $z = a+bi$：$a$ 是实部，$b$ 是虚部（虚部不带 $i$）。
- 纯虚数：实部 $=0$ 且 虚部 $\neq 0$。
- 复数相等 → 实部等于实部、虚部等于虚部 → 一个复数方程拆成两个实数方程。
- 除法：分子分母同乘分母的共轭，把分母变成 $c^2+d^2$。
- $z\bar{z} = |z|^2$；$|z|$ 就是复平面上的点到原点的距离。
考试时的时间分配建议：复数题2 分钟内解决。 如果超过 3 分钟还在算，说明方法选错了，先跳过，最后回来。
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