第 2 章 集合与常用逻辑用语

【这章高考能拿几分】

为什么排第 2 章？

因为集合题的解题动作极端固定：解不等式 → 画数轴 → 看端点 → 写答案。 四步走完，题就没了。它比复数稍微麻烦一点点的地方在于 需要一点点不等式的功夫，以及一个特别容易漏的点——空集。

⚠️ 有一句话你要刻在脑子里：
"看到集合题里带字母（参数），先想：它能不能是空集？"
这是集合题唯一的、也是最大的丢分点。每年都有一大批学生栽在这上面。

【先补工具：解不等式（30 分钟搞定）】

集合题里 90% 的集合都是用不等式描述的，所以你必须会解两种不等式。 这两种解题方法只要背下来就行，不需要理解原理。

工具 1：解一元二次不等式

以 $x^2 - x - 6 \le 0$ 为例，三步走：

第 1 步：转化成 $(x - x_1)(x - x_2)$ 的形式，求出两个根。

先令 $x^2 - x - 6 = 0$，用十字相乘分解：

   x        -3
   x        +2
   ─────────────
   x²      -6      ← -3x + 2x = -x

（最后那行是验算：$-3x + 2x = -x$，正好等于中间项，配对成功。）

所以

得到两个根：$x_1 = 3$，$x_2 = -2$。

十字相乘速查：找两个数，它们的乘积等于常数项（这里是 $-6$），
它们的和等于一次项系数（这里是 $-1$）。
$(-3) \times 2 = -6$ ✓，$(-3) + 2 = -1$ ✓，配对成功。

第 2 步：画数轴，标出两个根。

        -2          3
    ─────●──────────●─────→

第 3 步：看不等号方向，取"中间"还是"两边"。

口诀：小于取中间，大于取两边。

所以 $x^2 - x - 6 \le 0$ 的解集是

记住一个前提：用这个方法时，$x^2$ 前面的系数必须是正数。 如果是 $-x^2 + x + 6 \ge 0$，先在两边同时乘 $-1$（注意：乘负数要变号）， 变成 $x^2 - x - 6 \le 0$ 再解。

工具 2：解绝对值不等式

以 $|x - 1| < 1$ 为例。

法则：$|A| < a$（$a > 0$）等价于 $-a < A < a$。

套进来：

三个位置同时加 1：

结论：$|x-1|<1$ 的解集是 $0 < x < 2$。

再记一个：$|A| > a$ 等价于 $A > a$ 或 $A < -a$。

【必须背住的核心概念】

一、集合的三条"基本规矩"

集合就是"一堆东西打包在一起"。这一堆东西里的每一个，叫做集合的元素。

元素有三条性质（必背）：

⚠️ 互异性是最爱考的一条。 比如你算出来 $a = 2$，
代回去发现集合变成 $\{2, 4, 2\}$——有两个 2，这个集合不合法，答案要舍去。
这个动作叫"检验互异性"，几乎每道含参题都要做。

二、常见数集符号（必须认识）

⚠️ 坑：$\mathbb{N}$ 里有 $0$，$\mathbb{N}^*$ 里没有 $0$。
题目里看到 $x \in \mathbb{N}$，别忘了 $x$ 可以取 $0$。

三、集合的两种写法

① 列举法：把元素一个一个写出来，用大括号包住。

② 描述法：写清楚"什么样的数"。格式是 $\{x \mid x \text{ 满足的条件}\}$， 竖线右边是"条件"。

看描述法时，先看竖线左边写的是什么。
$\{x \mid \cdots\}$ 里的 $x$ 是实数，$\{x \in \mathbb{N} \mid \cdots\}$ 里的 $x$ 只能是自然数。
"$x$ 是谁"决定了答案从哪来，这一步看漏就直接做错。

四、集合之间的关系

人话理解： - $A \subseteq B$ = "$A$ 是 $B$ 的一部分"（可以完全相等） - $A \subsetneqq B$ = "$A$ 是 $B$ 的真·一部分"（$A$ 比 $B$ 小） - $A = B$ = "两个集合长得一模一样"

⭐ 两条必背规定（考试专坑这两条）：

1. 空集 $\varnothing$ 是任何集合的子集：$\varnothing \subseteq A$ 永远成立。
2. 任何集合都是它自己的子集：$A \subseteq A$ 永远成立。

⚠️ 这就是集合题最大的坑。
题目说"$B \subseteq A$"，很多同学立刻开始画数轴算端点，
完全忘了 $B$ 可能是空集——而空集满足条件，必须单独讨论。
一漏就是 5 分。

五、子集个数的公式（背下来，白送分）

如果集合 $A$ 里有 $n$ 个元素，那么：

记忆方法：先算最全的 $2^n$，然后： - "真" → 减 1（去掉它自己） - "非空" → 减 1（去掉空集） - 两个都要 → 减 2

六、集合的三种运算（最重要！）

生活化类比： - 并集 ∪：你和同桌的书合起来放在桌上（"∪"的开口朝上，像个碗，装得多） - 交集 ∩：你俩都看过的那部电影（"∩"的口朝下，装得少） - 补集：全班同学的名单里，去掉你们小组的人，剩下的就是补集

符号记忆："∪ 装得多，∩ 装得少"。

七、⭐⭐ 数轴法：集合运算的万能武器

当集合是用不等式（连续范围）表示的时候，一律画数轴。

为什么？因为交并补的本质就是"在数轴上取公共部分或者合起来"， 画图比在心里想靠谱一万倍。

操作流程（背下来）：

1. 把每个集合都在同一条数轴上画出来；
2. 求交集 → 找重叠的部分；
3. 求并集 → 把所有涂过的部分连起来；
4. 重点看端点：这个端点闭（●，取得到）还是开（○，取不到）。

举例：$A = \{x \mid 0 < x < 2\}$，$B = \{x \mid x \ge 1\}$。

        ○───────────○
A:      0           2
B:              ●─────────────→
                1

• $A \cap B$：重叠部分 → $1 \le x < 2$
• $A \cup B$：全部合起来 → $x > 0$

端点怎么判断（超重要）：
交集的端点，两头谁更"严"听谁的。
上面例子里，左边取 $x > 0$（开）和 $x \ge 1$（闭）中更靠右的 $x \ge 1$；
右边取 $x < 2$（开），所以是 $1 \le x < 2$。
口诀：交集取"更紧的"，并集取"更松的"。

八、常用逻辑用语：充分条件与必要条件

这一块只要记一张表 + 一句话。

定义：命题"若 $p$，则 $q$"为真命题，就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件， $q$ 是 $p$ 的必要条件。

判断表：

⭐⭐ 集合角度（考场上最好用的办法）：

把 $p$ 和 $q$ 各自对应的解集求出来，记作集合 $A$ 和集合 $B$。

人话版："小推大，大不推小。"

• 集合 $A$ 小（条件更严）→ 它能推出集合 $B$ 大（条件更松）
• 反过来，$B$ 大推不出 $A$ 小

生活化类比： "你是中国人"能推出"你是地球人"（小范围 → 大范围 ✓）； "你是地球人"推不出"你是中国人"（大范围 → 小范围 ✘）。

所以"你是中国人"是"你是地球人"的充分不必要条件。

做题步骤：① 分别解出 $p$、$q$ 的范围 → ② 画数轴比大小 → ③ 小推大 → ④ 选答案。

九、含量词命题的否定（背两条，送分）

人话版：两件事一起改——

1. 量词要换：$\forall$（所有）换成 $\exists$（存在）；$\exists$ 换成 $\forall$；
2. 结论要反：$>$ 变 $\le$，$\ge$ 变 $<$，$=$ 变 $\neq$，$>$ 变 $\le$……

例子：$\forall x > 0,\ x^2 + 1 > 0$ 的否定是

⚠️ 坑：范围（比如 $x>0$）不要动，只换量词、反结论。
这一步丢分的人特别多。

十、最容易错的 5 个坑

【手把手例题】

规矩照旧：想 30 秒 → 想不出就看解析并抄下来 → 遮住答案再做一遍。
不许跳步。

例 1（元素的互异性，含参题的第一课）

题目：设集合 $A = \{2,\ a^2-a+2,\ 1-a\}$，若 $4 \in A$，求实数 $a$ 的值。

思路分析： "$4 \in A$" 的意思是"$4$ 是 $A$ 里的一个元素"。 但 $A$ 里哪个位置是 $4$？不知道。所以要把每一个可能的位置都试一遍， 分别求出 $a$，再检验是否满足互异性。

完整步骤：

$A$ 里可能等于 $4$ 的位置有两个： 位置 ② $a^2-a+2$ 和位置 ③ $1-a$。（位置 ① 是 $2$，不可能是 $4$。）

情况一：假设 $a^2 - a + 2 = 4$

移项：

十字相乘：$(-2) \times 1 = -2$ ✓，$(-2) + 1 = -1$ ✓，所以

检验互异性：

• 当 $a = 2$ 时，$A = \{2,\ 4-2+2,\ 1-2\} = \{2,\ 4,\ -1\}$， 三个元素互不相同 ✓ 合格。
• 当 $a = -1$ 时，$A = \{2,\ 1+1+2,\ 1-(-1)\} = \{2,\ 4,\ 2\}$， 元素 $2$ 出现了两次，违反互异性 ✘ 舍去。

情况二：假设 $1 - a = 4$

此时

所以 $A = \{2,\ 14,\ 4\}$，三个元素互不相同 ✓ 合格。

综上所述：

答：$a = 2$ 或 $a = -3$。

总结：含参集合题的标准流程是
① 列出所有可能 → ② 分别求值 → ③ 逐个代回检验互异性 → ④ 舍去不合格的。
第 ③ 步永远不能省。

例 2（集合相等，先找"确定"的那一个）

题目：设集合 $A = \{x,\ y\}$，$B = \{0,\ x^2\}$，若 $A = B$，则 $x + y =$ ______。

思路分析： $A = B$ 意味着两个集合的元素完全一样。 但 $x$、$y$ 都不知道，怎么办？

关键技巧：先找"确定"的元素。 看 $B = \{0, x^2\}$，里面有一个确定的 $0$。那么 $A$ 里也必须有一个 $0$。 $A = \{x, y\}$ 里谁等于 $0$？只能是 $x$ 或 $y$。分两种情况讨论。

完整步骤：

情况一：假设 $x = 0$

那么 $x^2 = 0$，于是

同一个元素出现两次，违反互异性 ✘ 舍去。

情况二：假设 $y = 0$

那么 $A = \{x,\ 0\}$，而 $B = \{0,\ x^2\}$。

要让 $A = B$，就必须有 $x^2 = x$：

提公因式：

检验互异性：

• 当 $x = 0$ 时，$A = \{0, 0\}$，违反互异性 ✘ 舍去；
• 当 $x = 1$ 时，$A = \{1, 0\}$，$B = \{0, 1\}$，两个集合完全一样 ✓ 合格。

所以 $x = 1$，$y = 0$，于是

答：$1$。

总结：解"A = B"类题目的秘诀是——
在两个集合里找一个已经确定的具体数字，让它去"配对"，
从而列出方程。 别硬猜。

例 3（包含关系，先找"突破口"）

题目（2023·新课标 II 卷改编）：设集合 $A = \{0,\ -a\}$，$B = \{1,\ a-2,\ 2a-2\}$， 若 $A \subseteq B$，则 $a =$（　　）

A. $2$　　B. $1$　　C. $\dfrac{2}{3}$　　D. $-1$

思路分析： $A \subseteq B$ 的意思是"$A$ 里的每个元素，都要能在 $B$ 里找到"。 $A$ 里有一个确定的 $0$，所以 $0$ 必须在 $B$ 里。 $B$ 的三个元素里谁是 $0$？列方程。

完整步骤：

第 1 步，因为 $0 \in A$，$A \subseteq B$，所以必须 $0 \in B$。

$B$ 中三个元素是 $1$、$a-2$、$2a-2$。其中 $1 \neq 0$，所以只能是：

解得：

• $a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2$
• $2a - 2 = 0 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$

第 2 步，逐个代回检验（$A \subseteq B$ 是否真的成立）。

当 $a = 2$ 时：

看 $-2$：$-2$ 不在 $B$ 里（$B$ 里是 $1, 0, 2$）。 所以 $A$ 中的 $-2$ 没有落在 $B$ 中，$A \subseteq B$ 不成立 ✘ 舍去。

当 $a = 1$ 时：

检查 $A$ 的两个元素： - $0 \in B$ ✓ - $-1 \in B$ ✓

所以 $A \subseteq B$ 成立 ✓ 合格。

答：B。

总结：检验"$A \subseteq B$"要把 $A$ 里每一个元素都在 $B$ 里找一遍。
只检查一个是不够的。这一步很多人偷懒，然后就选错了。

例 4（子集个数，套公式就行）

题目：已知集合 $A = \{x \mid 2 < x < 6,\ x \in \mathbb{N}\}$， 则 $A$ 的非空真子集个数为（　　）

A. $14$　　B. $7$　　C. $6$　　D. $2$

思路分析： 子集的个数只跟"集合里有几个元素"有关，所以第一步必须先把元素一个一个数出来。

完整步骤：

第 1 步，把 $A$ 里的元素列出来。

条件是：$x$ 是自然数（$x \in \mathbb{N}$，包含 $0,1,2,3,\cdots$）， 且 $2 < x < 6$。

满足的自然数只有：

所以

第 2 步，数元素个数：$n = 3$。

第 3 步，套公式。非空真子集个数：

答：C。

提醒：如果题目问"非空真子集"，就减 2（减掉空集和它自己）；
问"真子集"减 1；问"非空子集"减 1；问"子集"不减。
审题时把 "非空""真" 两个字圈出来。

例 5（连续范围 + 包含关系，必须画数轴）

题目：已知集合 $A = \{x \mid |x-1| < 1\}$，$B = \{x \mid x \ge a\}$， 且 $A \subseteq B$，求实数 $a$ 的取值范围。

思路分析： 先把 $A$ 解出来，然后在数轴上画出 $A$ 和 $B$，看图判断 $a$ 的位置。

完整步骤：

第 1 步，解 $A$。

三处同时加 $1$：

所以

第 2 步，画出数轴。

$B = \{x \mid x \ge a\}$ 是"从 $a$ 开始往右"的一条射线。 要让 $A$ 整个被 $B$ 包住，$B$ 的起点 $a$ 必须落在 $0$ 的左边或者正好在 $0$。

        ○───────────○
A:      0           2
B:  ●────────────────────────→
    a

（也就是 $a$ 在 $0$ 的左边，或者 $a = 0$。）

第 3 步，写出结论。

$a$ 可以向左无限延伸，但最右只能到 $0$。

答：$a \le 0$。

为什么端点 $a = 0$ 可以取？
因为 $A$ 本身不包含 $0$（$A$ 是 $0 < x < 2$，$0$ 是开的）。
所以即使 $B$ 从 $0$ 开始，$B = \{x \ge 0\}$ 也照样把 $A$ 全部装进去了，$\subseteq$ 成立。
判断端点能不能取，就看这个端点本身是否在两个集合里。

例 6（交集运算，2022 新高考 I 卷真题）

题目：若集合 $M = \{x \mid \sqrt{x} < 4\}$，$N = \{x \mid 3x \ge 1\}$， 则 $M \cap N =$（　　）

A. $\{x \mid 0 \le x < 2\}$　　B. $\left\{x \mid \dfrac{1}{3} \le x < 2\right\}$ C. $\{x \mid 3 \le x < 16\}$　　D. $\left\{x \mid \dfrac{1}{3} \le x < 16\right\}$

思路分析： 先分别把 $M$、$N$ 解成区间，再在数轴上取公共部分。

完整步骤：

第 1 步，解 $M$。

$\sqrt{x} < 4$，两边同时平方（都是非负，可以平方）：

但别忘了：根号里的东西必须 $\ge 0$，所以还要 $x \ge 0$。

两个条件合起来：

第 2 步，解 $N$。

第 3 步，画数轴求交集。

M:  ●───────────────────────────○
    0                          16
N:              ●──────────────────────────→
               1/3

两边重叠的部分是：从 $\dfrac{1}{3}$（$N$ 的起点，闭合）到 $16$（$M$ 的终点，开）。

答：D。

提醒：$\sqrt{x}$ 里 $x \ge 0$ 这个隐含条件，每年都有人忘。
看到根号，先写"被开方数 $\ge 0$"。

例 7（充分必要条件的判断，2022 新课标卷风格）

题目：设 $x \in \mathbb{R}$，则 "$|x-1| < 1$" 是 "$(x+4)(x-5) < 0$" 的（　　）

A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件

思路分析： 分别把两个条件的范围解出来，然后在数轴上比大小，用"小推大"判断。

完整步骤：

第 1 步，解 $p$：$|x-1| < 1$。

所以 $p$ 对应集合 $A = (0, 2)$。

第 2 步，解 $q$：$(x+4)(x-5) < 0$。

两个根是 $x_1 = -4$、$x_2 = 5$。小于取中间：

所以 $q$ 对应集合 $B = (-4, 5)$。

第 3 步，比较两个集合的大小。

第 4 步，用"小推大"。

$A$ 小、$B$ 大，所以 $A \Rightarrow B$ 成立（小推大 ✓）， 但 $B \Rightarrow A$ 不成立（大不推小 ✘）。

举反例说明第二件事：取 $x = -1$。$-1 \in (-4,5)$ ✓，但 $-1 \notin (0,2)$ ✘。 所以满足 $q$ 不一定满足 $p$。

结论：$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。

答：A。

考场口诀："先解范围，再画数轴，小的推大的。"
这一句能解决 95% 的充分必要条件题。

例 8（含量词命题的否定）

题目：命题 "$\forall x > 0,\ x^2 + 1 > 0$" 的否定是 ______。

思路分析： 否定含量词的命题，要同时改两件事： ① 换量词（$\forall \to \exists$）；② 反结论（$>$ 变 $\le$）。 范围（$x > 0$）不动。

完整步骤：

第 1 步，换量词：把 $\forall$（对任意）改成 $\exists$（存在）。

第 2 步，反结论：把 $x^2 + 1 > 0$ 改成 $x_0^2 + 1 \le 0$。

答：$\exists x_0 > 0,\ x_0^2 + 1 \le 0$。

提醒：写否定命题时，变量最好换个字母（比如把 $x$ 改成 $x_0$），
这样更规范，阅卷老师一眼就看出你在改写，不会误判。

其实这个命题本身是真的（任何实数的平方加 1 都大于 0），
它的否定就是假的——原命题和它的否定真假一定相反，这是我们判断对错的好办法。

【模仿练习】

要求：不看书、不看答案，独立完成。
限时 30 分钟。 做对 9 题以上算达标。

1. 用列举法表示集合 $A = \{x \in \mathbb{N} \mid -1 < x \le 3\}$：$A =$ ______。

2. 已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$，则 $A$ 的非空真子集共有 ______ 个。

3. 已知集合 $A = \{a,\ 2\}$，$B = \{a^2,\ 2\}$，且 $A = B$，则实数 $a$ 的值为 ______。

4. 已知集合 $A = \{x \mid -1 < x < 3\}$，$B = \{x \mid x \ge 2\}$，则

$A \cap B =$ ______，$A \cup B =$ ______。

5. 设全集 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$，$A = \{1, 3, 5\}$，则 $\complement_U A =$ ______。

6. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - x - 6 \le 0\}$，$B = \{x \mid x > 1\}$， 则 $A \cap B =$ ______。

7. 已知集合 $A = \{x \mid 1 \le x \le 3\}$，$B = \{x \mid x \le a\}$， 若 $A \subseteq B$，则实数 $a$ 的取值范围是 ______。

8. 已知集合 $A = \{x \mid 1 \le x \le 3\}$，$B = \{x \mid 2a < x < a+1\}$， 若 $B \subseteq A$，则实数 $a$ 的取值范围是 ______。

9. 命题 "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 > 0$" 的否定是 ______。

10. 设 $x \in \mathbb{R}$，则 "$x > 2$" 是 "$x^2 > 4$" 的（　　）

A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件 C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件

A:  ○───────────────────○
    -1                  3
B:              ●──────────────→
                2

A:  ●───────────────────────●
    -2                      3
B:          ○────────────────────→
            1

A:          ●───────●
            1       3
B:  ←───────────────●
                    a

A:  ●───────────────●
    1               3
B:      ○───────○
       2a      a+1

本章总结（抄一遍，加深印象）

这一章你只需要记住 7 句话：

1. 集合三性质：确定性、互异性、无序性。含参求值后必检验互异性。
2. 子集个数：全的 $2^n$，"真"减 1，"非空"减 1，两个都有减 2。
3. 并集 ∪ 装得多，交集 ∩ 装得少，补集是"全集里剩下的"。
4. 连续范围一律画数轴；交集取"更紧的"，并集取"更松的"；盯紧端点开闭。
5. ⭐⭐ 看到 $B \subseteq A$ 且 $B$ 含参数 → 先讨论 $B = \varnothing$！
6. 充分必要条件的万能解法：解出范围 → 画数轴 → 小推大。
7. 含量词命题的否定：换量词 + 反结论，范围不动。

考试时的时间分配建议：集合题 2~3 分钟。 含参的题稍微慢一点没关系，但"检验互异性"和"讨论空集"这两步，宁可多花 30 秒也别省。