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第 3 章 · 坐标运算 · 数量积 · 建系法

第 3 章平面向量

高考分值约 5 分｜先读信息卡，再按三遍法学习

建议学习时长：5 小时（分 4 次，每次 1~1.5 小时）
自测达标标准：10 道自测题做对 8 道，限时 30 分钟；
且拿到任意一道平面几何的向量题，能说出"我该怎么建系"。
达标后才能进入第 4 章。

【这章高考能拿几分】

能拿 5 分，有时候能拿 10 分。

项目	情况
出现在哪	单选（常见第 3~6 题）、多选、或填空
分值	5 分（个别年份两道向量题，共 10 分）
考不考	年年考，接近 100%
难度	★★☆（两颗星）。比复数、集合难一点，但套路依然很死
前置知识	会坐标的加减乘除、会"两点间距离"（就是复数的模那一条）

为什么排第 3 章？

因为平面向量有一个巨大的优点：几乎所有题都能用"坐标法"暴力解决。

向量题有两种做法： - 几何法：靠画图、靠观察，需要空间感和灵感 —— 学渣的噩梦； - 坐标法（建系法）：把几何图形放到坐标系里，把所有向量变成坐标，然后就是加、减、乘、算距离 —— 纯粹的机械操作，不需要任何灵感。

学渣策略：能用坐标法就用坐标法。 宁可多算 30 秒，也不要赌灵感。

高考向量题的"送分题"标准长相就是：
给你两个向量的坐标 → 让你求垂直、求平行、求夹角、求模、求数量积。
这五种题，本章全部给你写成"照着做就行"的流程。

【必须背住的核心概念】

一、向量是什么

向量 = 既有大小、又有方向的量。

大小叫向量的模，记作 $|\vec{a}|$；
图上画成一根带箭头的线段，箭头的方向就是向量的方向，线段的长度就是模。

生活化类比： "走了 5 公里"是数量（只有大小）； "向东走了 5 公里"是向量（既有大小又有方向）。同样"走 5 公里"，往东和往南是完全不同的结果——这就是方向的重要性。

⚠️ 重要概念：向量只关心"长度"和"方向"，不关心起点在哪。
所以两个平行的、长度一样的、指向相同的箭头，就是同一个向量。
（这叫"自由向量"，是后面"平移可以重合"的依据。）

二、四个特殊向量（必须分清）

名称	定义	说明
零向量 $\vec{0}$	长度为 $0$ 的向量	方向是任意的；规定 $\vec{0}$ 与任何向量平行
单位向量	长度等于 $1$ 的向量	常用来表示"方向"
相反向量	长度相同、方向相反	$\vec{a}$ 的相反向量记作 $-\vec{a}$
共线（平行）向量	方向相同或相反	记作 $\vec{a} \parallel \vec{b}$

注意：在向量这里，"平行"和"共线"是同一个意思。
因为向量可以自由平移，两个平行向量平移之后可以落在同一条直线上。
看到"共线"不要怕，就是"平行"。

三、向量的加减法（几何意义）

① 加法（三角形法则 / 平行四边形法则）

\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OC}

（以 $OA$、$OB$ 为邻边作平行四边形，$OC$ 是那条对角线。）

人话解释：向量加法就是"接着走"。从 $A$ 走到 $B$ 再走到 $C$，等效于直接从 $A$ 走到 $C$。

⭐ 最有用的加法技巧：首尾相接

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

记忆：中间的字母 $B$ 消掉！这个技巧叫"消中间"。

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}

（中间的 $B$、$C$ 全消掉，只剩头和尾。）

② 减法（终点减起点）

\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{BA}

⭐ 记忆口诀：减法 → 后面指向前面。

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}

人话解释："从 $A$ 到 $B$ 的向量" $=$ "从原点指向 $B$ 的向量" 减去 "从原点指向 $A$ 的向量"。 这就是后面坐标法的基础：如果 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，那么

\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)

终点坐标减起点坐标。 记牢。

③ 数乘

实数 $\lambda$ 乘以向量 $\vec{a}$，结果是：

$\lambda$ 的情况	结果
$\lambda > 0$	方向与 $\vec{a}$ 相同，长度变为原来的 $\lambda$ 倍
$\lambda < 0$	方向与 $\vec{a}$ 相反，长度变为原来的 $\|\lambda\|$ 倍
$\lambda = 0$	得到零向量 $\vec{0}$

人话解释：数乘只改变"长度"，或者把方向掉个头，不会让向量"歪掉"。所以数乘的结果一定与原向量共线。

四、⭐⭐ 共线向量定理（求参数的万能工具）

\vec{a} \parallel \vec{b}\ (\vec{b} \neq \vec{0}) \iff \text{存在唯一实数 } \lambda，\text{使得 } \vec{a} = \lambda \vec{b}

人话解释：两个向量平行，就说明其中一个是另一个"拉长/压扁/掉头"的结果。

这条定理有两个用法：

用法 1（判断共线）：题目说 $A$、$B$、$C$ 三点共线，你就把它翻译成 $\overrightarrow{AB} = \lambda \overrightarrow{AC}$，然后比较系数，列出方程组。

用法 2（求参数）：题目说两个向量平行 → 写出 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$ → 比较两边系数 → 解方程组。

⭐ 为什么用 $\lambda$ 比较系数？ 因为我们提前知道了一条定理：如果 $\vec{e_1}$ 和 $\vec{e_2}$ 不共线，那么 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 就相当于两根"独立的坐标轴"，任何向量写成 $x\vec{e_1} + y\vec{e_2}$ 的方式都是唯一的。所以两边 $\vec{e_1}$ 的系数必须相等，$\vec{e_2}$ 的系数也必须相等。

（这就跟"实部等于实部、虚部等于虚部"是同一个道理。）

五、向量的夹角

把两个向量的起点平移到一起，它们之间的那个角，就是夹角 $\theta$。

规定：$0 \le \theta \le \pi$（也就是 $0°$ 到 $180°$）。

夹角	含义
$\theta = 0$	两向量同向（平行且方向相同）
$\theta = \pi$（即 $180°$）	两向量反向
$\theta = \dfrac{\pi}{2}$（即 $90°$）	两向量垂直，记作 $\vec{a} \perp \vec{b}$

⚠️ 坑：夹角最大只能到 $180°$。
画图时两个向量可能看起来是个"大角"（比如 $270°$），但向量夹角永远取较小的那个。

六、⭐⭐ 数量积（本章的核心，必须背）

数量积定义（也叫点积、"$\vec{a}$ 点乘 $\vec{b}$"）：

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\theta

其中 $\theta$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角。

⭐ 关键认知：数量积的结果是一个"数"，不是向量！ （所以它叫"数量积"。这一点千万别搞混。）

由定义立刻得到夹角公式（求夹角就用它）：

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

七、数量积的 4 条性质（每条都考）

① 求模：自己点乘自己

\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \quad \Longrightarrow \quad |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}

⭐ 这是求模的唯一正确思路。 看到 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 这种式子， 不要试图直接算，先把它平方。

② 判断垂直（超高频）

\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

人话解释：垂直时夹角是 $90°$，而 $\cos 90° = 0$，所以数量积是 $0$。 反之，数量积是 0，夹角就是 $90°$。

③ 范围

|\vec{a} \cdot \vec{b}| \le |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|

（因为 $|\cos\theta| \le 1$。）

④ 运算律

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \quad \text{（交换律）}

(\lambda\vec{a}) \cdot \vec{b} = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b}) \quad \text{（数乘可提出）}

(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c} \quad \text{（分配律，展开时用）}

⚠️ 坑：数量积不能"约分"！
$\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 推不出 $\vec{a} = \vec{b}$。
就像 $0 \times 5 = 0 \times 3$ 不能推出 $5 = 3$ 一样。

八、⭐⭐⭐ 坐标运算全表（这一栏必须一字不差地背下来）

设 $\vec{a} = (x_1,\ y_1)$，$\vec{b} = (x_2,\ y_2)$。

运算	公式	备注
加法	$\vec{a} + \vec{b} = (x_1+x_2,\ y_1+y_2)$	横加横，纵加纵
减法	$\vec{a} - \vec{b} = (x_1-x_2,\ y_1-y_2)$	横减横，纵减纵
数乘	$\lambda\vec{a} = (\lambda x_1,\ \lambda y_1)$	每个坐标都乘
数量积	$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$	⭐横乘横 + 纵乘纵，结果是一个数
模	$\\|\vec{a}\\| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}$	勾股定理
平行（共线）	$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 = x_2 y_1$	⭐交叉相乘相等
垂直	$\vec{a} \perp \vec{b} \iff x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$	就是数量积为 $0$
两点间向量	$\overrightarrow{AB} = (x_2-x_1,\ y_2-y_1)$	终点减起点
两点距离	$\\|\overrightarrow{AB}\\| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$	两点间距离公式

⭐ 平行公式的记忆技巧： ${\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0}$，也就是"交叉相乘，相减为零"。

写成矩阵的样子更好记：

\begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0

（对角线相乘再相减。）

⚠️ 千万别把"平行"和"垂直"的公式记混！
- 平行：$x_1y_2 = x_2y_1$（交叉相乘，没有加号）
- 垂直：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$（对应相乘再相加）

记忆："平行叉着乘，垂直正着乘。"

九、⭐⭐⭐ 建系法：学渣的终极武器

什么时候用建系法？

题目长这样	用不用建系
直接给出坐标（$a=(3,4)$ 这种）	不用建，直接套坐标公式
几何图形（正方形、矩形、直角三角形、菱形…）	⭐建系！
只给模和夹角，没有图形	用定义式 + 平方

建系三步走（背下来）：

找个直角当原点。正方形、矩形的某个顶点；直角三角形的直角顶点；等腰三角形的底边中点。
把两条直角边/边放到 $x$ 轴、$y$ 轴上，写出所有关键点的坐标。
把题目里的向量全写成"终点坐标减起点坐标"，然后就是纯计算。

为什么这么干？ 因为几何法需要你看图看出"这个角是多少度""这条线是不是垂直"，一旦看不出来就卡死了。建系之后所有信息都变成了数字，数字不会骗你。

十、最容易错的 6 个坑

#	坑	正确做法
1	把"平行"和"垂直"公式记混	平行叉着乘，垂直正着乘
2	认为 $x_1y_2 = x_2y_1$ 和 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 不一样	两式完全等价，随便用
3	求模时直接展开 $\|\vec{a}+\vec{b}\|$	先平方：$\\|\vec{a}+\vec{b}\\|^2 = \\|\vec{a}\\|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + \\|\vec{b}\\|^2$
4	用 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ 推出 $\vec{a} = \vec{b}$	不能约分！向量没有除法
5	求 $\overrightarrow{AB}$ 时用"起点减终点"	终点减起点：$\overrightarrow{AB} = B - A$
6	把 $\\|\vec{a}\\|$ 算完还带根号就慌了	根号留着没关系，$\sqrt{13}$ 就写 $\sqrt{13}$

【手把手例题】

规矩照旧：想 30 秒 → 想不出就看解析并抄下来 → 遮住答案再做一遍。

例 1（垂直与平行，最基础的两道送分题）

题目：

（1）已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, -1)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，求 $x$。

（2）已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, m)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，求 $m$。

完整步骤：

（1）垂直 ⟹ 数量积为 $0$

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

套数量积公式（横乘横 + 纵乘纵）：

1 \times x + 2 \times (-1) = 0

$$x - 2 = 0$$

$$x = 2$$

答：$x = 2$。

（2）平行 ⟹ 交叉相乘相等

\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 = x_2 y_1

代入 $x_1 = 1,\ y_1 = 2,\ x_2 = 2,\ y_2 = m$：

1 \times m = 2 \times 2

$$m = 4$$

答：$m = 4$。

对比记忆：
- 垂直：对应位置相乘再相加 = 0（$1\cdot x + 2\cdot(-1)$）
- 平行：对角线相乘再相减 = 0（$1\cdot m - 2\cdot 2$）

两句话搞定两道题，这就是向量的"套路"。

例 2（求模：先平方，再算）

题目：已知 $|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 1$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60°$，求 $|\vec{a} - 2\vec{b}|$。

思路分析： ⭐ 看到"求模的长"，第一反应永远是：把它平方。

因为 $|\vec{a} - 2\vec{b}|$ 没法直接算（你并不知道 $\vec{a} - 2\vec{b}$ 有多长），但它的平方可以展开成数量积，而数量积能算。

完整步骤：

第 1 步，先算出 $\vec{a} \cdot \vec{b}$（后面要用）。

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos 60° = 2 \times 1 \times \frac{1}{2} = 1

第 2 步，把要求的模平方：

|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})

第 3 步，像多项式乘法一样展开（这三项要背下来）：

= \vec{a} \cdot \vec{a} - 2 \times 2 \times \vec{a} \cdot \vec{b} + (2\vec{b}) \cdot (2\vec{b})

嗯，展开时慢一点，我们一项一项写：

(\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = \vec{a}\cdot\vec{a} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{b}\cdot\vec{a} + 4\vec{b}\cdot\vec{b}

因为 $\vec{a}\cdot\vec{b} = \vec{b}\cdot\vec{a}$，前两项合并：

= \vec{a}\cdot\vec{a} - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4\vec{b}\cdot\vec{b}

第 4 步，把 $\vec{a}\cdot\vec{a} = |\vec{a}|^2$、$\vec{b}\cdot\vec{b} = |\vec{b}|^2$ 代进去：

= |\vec{a}|^2 - 4\vec{a}\cdot\vec{b} + 4|\vec{b}|^2

第 5 步，代入数值：

= 2^2 - 4 \times 1 + 4 \times 1^2

$$= 4 - 4 + 4$$

$$= 4$$

第 6 步，所以 $|\vec{a}-2\vec{b}|^2 = 4$，开方（长度非负，取正）：

|\vec{a} - 2\vec{b}| = 2

答：$2$。

⭐ 必背展开公式（跟完全平方公式一模一样）：

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2

|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2

唯一的区别是：中间的 $ab$ 要写成"点乘"。

例 3（求夹角，套余弦公式）

题目：已知 $|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 3$，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\theta$。

思路分析：直接用夹角余弦公式。

完整步骤：

第 1 步，写出夹角公式：

\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}

第 2 步，把数值代进去：

\cos\theta = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

第 3 步，$0 \le \theta \le \pi$，且 $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$，所以：

\theta = \frac{\pi}{3} \quad (\text{也就是 } 60°)

答：$\theta = \dfrac{\pi}{3}$。

必背特殊角余弦值（考场上要反应得过来）：
| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}(30°)$ | $\dfrac{\pi}{4}(45°)$ | $\dfrac{\pi}{3}(60°)$ | $\dfrac{\pi}{2}(90°)$ | $\pi(180°)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |

例 4（坐标 + 夹角，2022 新高考 II 卷真题思路）

题目：已知向量 $\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (1, 0)$，$\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b}$，若 $\langle\vec{a}, \vec{c}\rangle = \langle\vec{b}, \vec{c}\rangle$，则 $t =$（　　）

A. $-6$　　B. $-5$　　C. $5$　　D. $6$

（记号 $\langle\vec{a}, \vec{c}\rangle$ 表示 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 的夹角。）

思路分析：夹角相等 $=$ 余弦值相等。两个余弦式的分母里都有 $|\vec{c}|$，可以约掉！约掉之后剩下的式子就好算多了。

完整步骤：

第 1 步，写出 $\vec{c}$ 的坐标。

\vec{c} = \vec{a} + t\vec{b} = (3,4) + t(1,0) = (3 + t,\ 4)

第 2 步，算出需要的两个模。

|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5

|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1

第 3 步，算出两个数量积。

\vec{a} \cdot \vec{c} = 3(3+t) + 4 \times 4 = 9 + 3t + 16 = 25 + 3t

\vec{b} \cdot \vec{c} = 1 \times (3+t) + 0 \times 4 = 3 + t

第 4 步，用"夹角相等 ⟹ 余弦相等"列方程。

\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{c}|} = \frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|\cdot|\vec{c}|}

两边都乘 $|\vec{c}|$（$|\vec{c}| \neq 0$，可以约掉）：

\frac{\vec{a}\cdot\vec{c}}{|\vec{a}|} = \frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{|\vec{b}|}

第 5 步，代入数值：

\frac{25+3t}{5} = \frac{3+t}{1}

第 6 步，解方程。两边同时乘 5：

$$25 + 3t = 5(3 + t)$$

$$25 + 3t = 15 + 5t$$

移项（把含 $t$ 的移到一边）：

$$25 - 15 = 5t - 3t$$

$$10 = 2t$$

$$t = 5$$

答：C。

技巧总结：题目里出现"夹角相等"，一定先想能不能约掉共同的分母。
这道题的分母是 $|\vec{c}|$，约掉之后计算量少一半。

例 5（共线定理求参数，2022 全国卷思路）

题目：已知 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是两个不共线的向量， $\overrightarrow{AB} = \vec{e_1} + k\vec{e_2}$，$\overrightarrow{BC} = 5\vec{e_1} + 4\vec{e_2}$， $\overrightarrow{DC} = -\vec{e_1} - 2\vec{e_2}$，且 $A$、$B$、$D$ 三点共线，求实数 $k$ 的值。

思路分析： "$A$、$B$、$D$ 三点共线" 等价于 "$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AD}$ 共线"。所以我们先要把 $\overrightarrow{AD}$ 用 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 表示出来，再用共线定理列方程。

完整步骤：

第 1 步，把 $\overrightarrow{AD}$ 拆成几段加起来。

\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}

但题目给的是 $\overrightarrow{DC}$，不是 $\overrightarrow{CD}$。注意它们是相反向量：

\overrightarrow{CD} = -\overrightarrow{DC} = -(-\vec{e_1} - 2\vec{e_2}) = \vec{e_1} + 2\vec{e_2}

第 2 步，代入计算（$\vec{e_1}$ 的系数放一起，$\vec{e_2}$ 的系数放一起）：

\overrightarrow{AD} = (\vec{e_1} + k\vec{e_2}) + (5\vec{e_1} + 4\vec{e_2}) + (\vec{e_1} + 2\vec{e_2})

$\vec{e_1}$ 的系数：$1 + 5 + 1 = 7$；

$\vec{e_2}$ 的系数：$k + 4 + 2 = k + 6$。

所以

\overrightarrow{AD} = 7\vec{e_1} + (k+6)\vec{e_2}

第 3 步，用三点共线的条件。

$A$、$B$、$D$ 三点共线 $\Longrightarrow$ $\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{AD}$ $\Longrightarrow$ 存在实数 $\lambda$ 使

\overrightarrow{AB} = \lambda\overrightarrow{AD}

代入：

\vec{e_1} + k\vec{e_2} = \lambda\left[7\vec{e_1} + (k+6)\vec{e_2}\right]

把右边展开：

\vec{e_1} + k\vec{e_2} = 7\lambda\vec{e_1} + \lambda(k+6)\vec{e_2}

第 4 步，比较系数（因为 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 不共线，系数必须一一对应相等）。

\begin{cases} 1 = 7\lambda & \text{（$\vec{e_1}$的系数）} \\ k = \lambda(k+6) & \text{（$\vec{e_2}$的系数）} \end{cases}

由第一个方程：

\lambda = \frac{1}{7}

代入第二个方程：

k = \frac{1}{7}(k + 6)

两边同时乘 7：

$$7k = k + 6$$

$$7k - k = 6$$

$$6k = 6$$

$$k = 1$$

答：$k = 1$。

总结这类题的三步：
① 把目标向量用基底（这里是 $\vec{e_1},\vec{e_2}$）表示出来；
② 用共线定理写成 $\vec{a} = \lambda\vec{b}$；
③ 比较系数，解方程组。

"比较系数"这一步的依据：两个不共线的向量就像两根独立的坐标轴，
任何向量的表示方法唯一。

例 6（⭐⭐ 建系法实战，学渣必学）

题目：在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2$，$AD = 1$，求 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}$ 的值。

思路分析（两种方法，我们都要看，但以后只用一个）：

几何法的困难：$\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 的夹角是多少？在图上画半天也说不清，而且这题的答案还是个负数。 几何法很难看清。

建系法：矩形天然有直角，直接建系。

完整步骤（建系法）：

第 1 步，建系。 以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴。

第 2 步，写出所有关键点的坐标。

$A$：原点 → $A(0, 0)$
$B$：在 $x$ 轴上，距 $A$ 为 $2$ → $B(2, 0)$
$D$：在 $y$ 轴上，距 $A$ 为 $1$ → $D(0, 1)$
$C$：矩形对角顶点 → $C(2, 1)$

第 3 步，把要求的向量写成"终点减起点"。

\overrightarrow{AC} = C - A = (2 - 0,\ 1 - 0) = (2, 1)

\overrightarrow{BD} = D - B = (0 - 2,\ 1 - 0) = (-2, 1)

第 4 步，算数量积（横乘横 + 纵乘纵）。

\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = 2 \times (-2) + 1 \times 1

$$= -4 + 1$$

$$= -3$$

答：$-3$。

你发现了吗？
用建系法，这道题根本不需要知道 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 的夹角是多少，
也不需要画辅助线。只是加减乘而已。

而且答案是负数这件事，用几何法可能要吓你一跳，
但用坐标算出来是自然的——因为数量积本来就可以是负数（夹角 > $90°$）。

⭐ 以后遇到几何图形里的向量题，先问自己："这里有没有直角？能建系吗？"

例 7（建系法进阶：等边三角形）

题目：已知等边三角形 $ABC$ 的边长为 $2$，$D$ 是边 $BC$ 的中点，求 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$。

思路分析：等边三角形没有现成的直角，但我们可以自己造一个：取 $BC$ 的中点 $D$，连 $AD$，则 $AD \perp BC$（等边三角形三线合一）。

所以我们以 $D$ 为原点建系。

完整步骤：

第 1 步，先算高。 等边三角形边长 $2$，高为

AD = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}

第 2 步，建系。 以 $D$ 为原点，$DC$ 方向为 $x$ 轴正方向，$DA$ 方向为 $y$ 轴正方向。

第 3 步，写坐标。

$D(0, 0)$
$B(-1, 0)$（$D$ 是 $BC$ 中点，$BD = 1$，在 $x$ 轴负方向）
$C(1, 0)$
$A(0, \sqrt{3})$（在 $y$ 轴上，距 $D$ 为 $\sqrt{3}$）

第 4 步，写向量。

\overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0,\ 0 - \sqrt{3}) = (-1,\ -\sqrt{3})

\overrightarrow{AD} = D - A = (0 - 0,\ 0 - \sqrt{3}) = (0,\ -\sqrt{3})

第 5 步，算数量积。

\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = (-1) \times 0 + (-\sqrt{3}) \times (-\sqrt{3})

$$= 0 + 3$$

$$= 3$$

答：$3$。

验证（用几何法对一下答案）：
在等边三角形中，$AD$ 是角平分线，所以 $\angle BAD = 30°$。
$|\overrightarrow{AB}| = 2$，$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{3}$。

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} = 2 \times \sqrt{3} \times \cos 30° = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \quad ✓

两种方法答案一致。所以建系法是可靠的，放心用。

【模仿练习】

要求：不看书、不看答案，独立完成。
限时 30 分钟。 做对 8 题以上算达标。

1. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (x, -1)$，若 $\vec{a} \perp \vec{b}$，则 $x =$ ______。

2. 已知 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ______， $|\vec{a}| =$ ______。

3. 已知 $\vec{a} = (1, 2)$，$\vec{b} = (2, m)$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $m =$ ______。

4. 已知 $|\vec{a}| = 3$，$|\vec{b}| = 2$，$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60°$，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ______。

5. 在第 4 题的条件下，$|\vec{a} + \vec{b}| =$ ______。

6. 已知 $\vec{a} = (1, 0)$，$\vec{b} = (1, 1)$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 ______。

7. 已知点 $A(1, 2)$，$B(4, 6)$，则 $|\overrightarrow{AB}| =$ ______。

8. 设 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 是两个不共线的向量， $\vec{a} = \vec{e_1} + 2\vec{e_2}$，$\vec{b} = 2\vec{e_1} + \lambda\vec{e_2}$，若 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，则 $\lambda =$ ______。

9. 在边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 中（$A$、$B$、$C$、$D$ 依次排列）， $E$ 是 $BC$ 的中点，则 $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DE} =$ ______。

10. 已知 $|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 3$，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 ______。

答案与思路 —— 做完再看，点我展开

提示：先自己做完题再展开。对完答案后，把做错的题抄一遍解析，第二天再做一次。

【答案与思路】

错的题必须把解析抄一遍，明天再做一次。

第 1 题　答案：$x = 2$

思路：垂直 ⟹ 数量积为 $0$。

解析：

$\vec{a} \perp \vec{b}$，所以 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$：

1 \times x + 2 \times (-1) = 0

$$x - 2 = 0$$

$$x = 2$$

答：$x = 2$。

第 2 题　答案：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$，$|\vec{a}| = \sqrt{13}$

解析：

数量积（横乘横 + 纵乘纵）：

\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \times (-1) + 3 \times 2 = -2 + 6 = 4

模（勾股定理）：

|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

答：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$，$|\vec{a}| = \sqrt{13}$。

注意：$\sqrt{13}$ 就是最终答案，不要化成小数。

第 3 题　答案：$m = 4$

思路：平行 ⟹ 交叉相乘相等。

解析：

\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 = x_2 y_1

$x_1 = 1,\ y_1 = 2,\ x_2 = 2,\ y_2 = m$，代入：

1 \times m = 2 \times 2

$$m = 4$$

答：$m = 4$。

第 4 题　答案：$3$

思路：套数量积定义式。

解析：

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos\theta = 3 \times 2 \times \cos 60° = 6 \times \frac{1}{2} = 3

答：$3$。

第 5 题　答案：$\sqrt{19}$

思路：⭐ 求模先平方。

解析：

第 1 步，平方：

|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2

第 2 步，代入数值（由第 4 题知 $\vec{a}\cdot\vec{b} = 3$）：

= 3^2 + 2 \times 3 + 2^2

$$= 9 + 6 + 4$$

$$= 19$$

第 3 步，开方：

|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{19}

答：$\sqrt{19}$。

提醒：开方后取正数，因为模是长度，不能为负。

第 6 题　答案：$45°$（即 $\dfrac{\pi}{4}$）

思路：套夹角余弦公式。

解析：

第 1 步，算数量积：

\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 1 + 0 \times 1 = 1

第 2 步，算两个模：

|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1, \qquad |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}

第 3 步，代入余弦公式：

\cos\theta = \frac{1}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

第 4 步，$\cos\theta = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，且 $0 \le \theta \le \pi$，所以：

\theta = 45° \left(= \frac{\pi}{4}\right)

答：$45°$。

补充：分母带根号时，习惯上要分母有理化：
$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

第 7 题　答案：$5$

思路：先算 $\overrightarrow{AB}$ 的坐标（终点减起点），再算模。

解析：

第 1 步，算向量：

\overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 1,\ 6 - 2) = (3,\ 4)

第 2 步，算模：

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

答：$5$。

这就是"两点间距离公式"，跟第 1 章复数的模是同一件事。

第 8 题　答案：$\lambda = 4$

思路：平行 ⟹ 存在 $\lambda'$ 使 $\vec{a} = \lambda'\vec{b}$ ⟹ 比较系数。

解析：

第 1 步，因为 $\vec{a} \parallel \vec{b}$，存在实数 $t$ 使得

\vec{a} = t\vec{b}

即

\vec{e_1} + 2\vec{e_2} = t(2\vec{e_1} + \lambda\vec{e_2})

右边展开：

\vec{e_1} + 2\vec{e_2} = 2t\vec{e_1} + t\lambda\vec{e_2}

第 2 步，比较系数（$\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 不共线）：

\begin{cases} 1 = 2t & \text{（$\vec{e_1}$的系数）} \\ 2 = t\lambda & \text{（$\vec{e_2}$的系数）} \end{cases}

由第一个方程：

t = \frac{1}{2}

代入第二个：

2 = \frac{1}{2} \lambda \ \Longrightarrow \ \lambda = 4

答：$\lambda = 4$。

⚠️ 高能提醒：这里千万不能用"坐标法"的那套 $x_1y_2 = x_2y_1$！
因为 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 不是坐标，它们只是两个向量。
平行公式 $x_1y_2 = x_2y_1$ 只对坐标形式成立。
遇到用 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 表示的向量，必须回到定义：$\vec{a} = t\vec{b}$，比较系数。

第 9 题　答案：$3$

思路：⭐⭐ 有正方形就有直角，直接建系。

解析：

第 1 步，建系。 以 $A$ 为原点，$AB$ 方向为 $x$ 轴正方向，$AD$ 方向为 $y$ 轴正方向。

第 2 步，写坐标。 正方形边长 $2$：

$A(0, 0)$
$B(2, 0)$
$C(2, 2)$
$D(0, 2)$

第 3 步，算 $E$ 的坐标。$E$ 是 $BC$ 的中点：

E\left(\frac{2+2}{2},\ \frac{0+2}{2}\right) = E(2, 1)

第 4 步，写两个向量（终点减起点）：

\overrightarrow{AE} = (2 - 0,\ 1 - 0) = (2, 1)

\overrightarrow{DE} = (2 - 0,\ 1 - 2) = (2, -1)

第 5 步，算数量积：

\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{DE} = 2 \times 2 + 1 \times (-1) = 4 - 1 = 3

答：$3$。

⭐ 这道题最容易错的地方在"向量方向"，请务必看清：

$\overrightarrow{AE}$ 是从 $A$ 指向 $E$，所以是 $E - A = (2, 1)$；

$\overrightarrow{DE}$ 是从 $D$ 指向 $E$，所以是 $E - D = (2, -1)$。

$\overrightarrow{XY}$ 永远是"终点减起点"，也就是 $Y - X$。
如果一不小心写成了 $\overrightarrow{ED} = D - E = (-2, 1)$，
算出 $2\times(-2) + 1\times 1 = -3$，那就答错了——那是另一道题的结果。

检查方法：写完一个向量的坐标，先问自己"这是从谁指向谁的？"，
再看这个坐标跟图上的方向对不对得上。这一步只花 5 秒，能救回一整个 5 分。

第 10 题　答案：$60°$（即 $\dfrac{\pi}{3}$）

思路：套夹角余弦公式。

解析：

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{3}{2 \times 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

因为 $0 \le \theta \le \pi$，所以

\theta = \frac{\pi}{3} \quad (\text{即 } 60°)

答：$60°$。

本章总结（抄一遍，加深印象）

这一章你只需要记住 8 句话：

向量 = 大小 + 方向。$\overrightarrow{AB} =$ 终点坐标 − 起点坐标。
平行（共线）$\iff$ 交叉相乘相等：$x_1y_2 = x_2y_1$；垂直 $\iff$ 对应相乘相加为 0：$x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。
数量积 $= x_1x_2 + y_1y_2$，结果是一个数，不是向量。
求模先平方：$|\vec{a}\pm\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 \pm 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2$。
求夹角：$\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$，其中 $0 \le \theta \le \pi$。
共线定理：$\vec{a} \parallel \vec{b} \iff \vec{a} = \lambda\vec{b}$，用 $\vec{e_1}$、$\vec{e_2}$ 表示向量时必须比较系数。
⭐ 几何图形里的向量题 → 一律建系！ 找直角、定原点、写坐标、算就完了。
数量积不能约分：$\vec{a}\cdot\vec{c} = \vec{b}\cdot\vec{c}$ 推不出 $\vec{a} = \vec{b}$。

考试时的时间分配建议：向量题 2~3 分钟。如果几何法看了一分钟没思路，立刻改建系，别硬扛。

自测达标标准（再说一遍）： 10 道题做对 8 道以上，30 分钟内完成。以及——随便给你一道正方形、矩形、等边三角形的向量题，你能在三秒内说出"先建系"这两个字。

学渣自救手册 · 内容整理自公开高考真题与教辅资料
仅供学习使用 · 可直接用浏览器打印／另存为 PDF

【这章高考能拿几分】

【必须背住的核心概念】

一、向量是什么

二、四个特殊向量（必须分清）

三、向量的加减法（几何意义）

四、⭐⭐ 共线向量定理（求参数的万能工具）

五、向量的夹角

六、⭐⭐ 数量积（本章的核心，必须背）

七、数量积的 4 条性质（每条都考）

八、⭐⭐⭐ 坐标运算全表（这一栏必须一字不差地背下来）

九、⭐⭐⭐ 建系法：学渣的终极武器

十、最容易错的 6 个坑

【手把手例题】

例 1（垂直与平行，最基础的两道送分题）

例 2（求模：先平方，再算）

例 3（求夹角，套余弦公式）

例 4（坐标 + 夹角，2022 新高考 II 卷真题思路）

例 5（共线定理求参数，2022 全国卷思路）

例 6（⭐⭐ 建系法实战，学渣必学）

例 7（建系法进阶：等边三角形）

【模仿练习】

【答案与思路】

第 1 题 答案：$x = 2$

第 2 题 答案：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$，$|\vec{a}| = \sqrt{13}$

第 3 题 答案：$m = 4$

第 4 题 答案：$3$

第 5 题 答案：$\sqrt{19}$

第 6 题 答案：$45°$（即 $\dfrac{\pi}{4}$）

第 7 题 答案：$5$

第 8 题 答案：$\lambda = 4$

第 9 题 答案：$3$

第 10 题 答案：$60°$（即 $\dfrac{\pi}{3}$）

本章总结（抄一遍，加深印象）

第 1 题　答案：$x = 2$

第 2 题　答案：$\vec{a}\cdot\vec{b} = 4$，$|\vec{a}| = \sqrt{13}$

第 3 题　答案：$m = 4$

第 4 题　答案：$3$

第 5 题　答案：$\sqrt{19}$

第 6 题　答案：$45°$（即 $\dfrac{\pi}{4}$）

第 7 题　答案：$5$

第 8 题　答案：$\lambda = 4$

第 9 题　答案：$3$

第 10 题　答案：$60°$（即 $\dfrac{\pi}{3}$）