B③ 逐题分析

12 道唯一真题，每题按「出处 → 考查角度 → 解题思路 → 易错点 → 难度」展开。

⚠️ 凡源文 OCR 残缺处均已标注"存疑"，未作任何填补性编造。

2022-1｜2022·新高考全国Ⅰ卷 · 选择题

分册-考点：专题12-06 性质综合　难度：基础（解析长 266）

题干：记函数 $f(x)=\sin\left(\omega x+\dfrac{\pi}{4}\right)+b\;(\omega>0)$ 的最小正周期为 $T$。若 $\dfrac{2\pi}{3}

考查角度：把周期性与对称中心两个性质叠加，反向求参数 $\omega,b$，再代值求值。属于"图象性质反向定参"的典型题。

解题思路

1. 由 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ 及 $\dfrac{2\pi}{3}
2. 中心对称点 $\left(\dfrac{3\pi}{2},2\right)$：$\omega\cdot\dfrac{3\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}=k\pi$，且 $b=2$；
3. 解得 $\omega=\dfrac{4k-1}{6}$，在 $(2,3)$ 内只有 $k=4$，即 $\omega=\dfrac52$；
4. $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\dfrac52\cdot\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}\right)+2=\sin\dfrac{3\pi}{2}+2=-1+2=1$。

答案：A（$=1$）

易错点

• ① 把 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ 写反成 $T=2\pi\omega$，导致 $\omega$ 范围错误；
• ② 对称中心条件只用了横坐标，忘记纵坐标即 $b$（$b=2$）；
• ③ 求出 $\omega$ 的通式后未用范围筛选，多解未舍。

2023-1｜2023·新课标Ⅰ卷 · 填空题

分册-考点：专题12-08 求参数范围（同题亦收录于专题15-03 范围问题）　难度：基础（解析长 243）

题干：已知函数 $f(x)=\cos\omega x-1\;(\omega>0)$ 在区间 $[0,2\pi]$ 有且仅有 3 个零点，则 $\omega$ 的取值范围是 ________。

答案：$[2,3)$

考查角度：以"零点个数"反求参数范围，本质是换元后看余弦函数在一个周期内的零点分布。

解题思路

1. 令 $f(x)=0$ 得 $\cos\omega x=1$；
2. 换元 $t=\omega x$，由 $x\in[0,2\pi]$ 得 $t\in[0,2\omega\pi]$；
3. $\cos t=1$ 在 $t\in[0,2\omega\pi]$ 上恰有 3 个根，即 $t=0,2\pi,4\pi$ 三个，而 $6\pi$ 不在区间内；
4. 故 $4\pi\le 2\omega\pi<6\pi\Rightarrow 2\le\omega<3$。

易错点

• ① 端点开闭判断错误：$\omega=2$ 时恰 3 个零点（含端点，闭）；$\omega=3$ 时会有 4 个（开）。写成 $(2,3)$ 或 $[2,3]$ 均错；
• ② 忘记换元后区间端点变为 $2\omega\pi$；
• ③ 把"$\cos\omega x=1$"误作"$\cos\omega x=0$"。

备注：本题同时被专题12 与专题15 收录，已在去重时合并，不重复计数。

2023-2｜2023·新课标Ⅰ卷 · 选择题

分册-考点：专题13-02 二倍角公式　难度：基础（解析长 486）

题干：已知 $\sin(\alpha-\beta)=\dfrac13$，$\cos\alpha\sin\beta=\dfrac16$，则 $\cos(2\alpha+2\beta)=$（　） A．$\dfrac79$　B．$\dfrac19$　C．$-\dfrac19$　D．$-\dfrac79$

答案：B（$=\dfrac19$）

考查角度：典型的"给值求值"——关键在于变角：把 $2\alpha+2\beta$ 看成 $2(\alpha+\beta)$，先求 $\sin(\alpha+\beta)$，再用二倍角余弦。

解题思路

1. $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta=\dfrac13$；
2. 代入 $\cos\alpha\sin\beta=\dfrac16$ 得 $\sin\alpha\cos\beta=\dfrac13+\dfrac16=\dfrac12$；
3. $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\dfrac12+\dfrac16=\dfrac23$；
4. $\cos(2\alpha+2\beta)=\cos\bigl(2(\alpha+\beta)\bigr)=1-2\sin^2(\alpha+\beta)=1-2\cdot\dfrac49=\dfrac19$。

易错点

• ① 未作"变角"，试图分别求 $\alpha,\beta$（求不出）；
• ② 和角公式符号记错（$\sin(\alpha-\beta)$ 与 $\sin(\alpha+\beta)$ 的正负号）；
• ③ 二倍角余弦用错形式（这里因已知正弦，应选 $1-2\sin^2$）。

2023-3｜2023·新课标Ⅰ卷 · 解答题

分册-考点：专题16-02 求边长　难度：基础（解析长 471）　小问：2

题干：已知在 △ABC 中，$A+B=3C$，$2\sin(A-C)=\sin B$。 (1) 求 $\sin A$；(2) 设 $AB=5$，求 $AB$ 边上的高。

答案：(1) $\sin A=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$　(2) 高 $=6$

考查角度：第一问纯角的关系推演（先定 $C$，再由两角和差展开定 $\tan A$）；第二问落到正弦定理 + 等面积法求高。属于一卷解答题的标准形态：入口温和、落点常规。

解题思路

1. 由 $A+B=3C$ 及 $A+B+C=\pi$ 得 $4C=\pi$，$C=\dfrac{\pi}{4}$；
2. $2\sin(A-C)=\sin B=\sin(A+C)$，展开：

$2(\sin A\cos C-\cos A\sin C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ $\Rightarrow \sin A\cos C=3\cos A\sin C$，代入 $C=\dfrac{\pi}{4}$ 得 $\sin A=3\cos A$，即 $\tan A=3$；

1. 由 $0
2. $\sin B=\sin(A+C)=\sin A\cos C+\cos A\sin C=\dfrac{2\sqrt5}{5}$；
3. 正弦定理：$\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}$，其中 $c=AB=5$，得 $b=AC=2\sqrt{10}$；
4. 等面积法：$\dfrac12\cdot AB\cdot h=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin A\Rightarrow h=b\sin A=2\sqrt{10}\cdot\dfrac{3\sqrt{10}}{10}=6$。

易错点

• ① 由 $A+B=3C$ 不会结合内角和定 $C$，卡在第一步；
• ② 展开 $\sin(A\pm C)$ 时符号出错，导致 $\tan A$ 求错；
• ③ 由 $\tan A=3$ 求 $\sin A$ 时未说明 $A$ 为锐角（否则符号不定）；
• ④ 求高时误用 $\dfrac12 ab\sin C$ 而对应错边。

2024-1｜2024·新课标Ⅰ卷 · 选择题

分册-考点：专题12-04 三角函数中交点与零点问题　难度：基础（解析长 225）

题干：当 $x\in[0,2\pi]$ 时，曲线 $y=\sin x$ 与 $y=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的交点个数为（　） A．3　B．4　C．6　D．8

答案：C（$=6$）

考查角度：数形结合——不必解方程，只需判断两个函数在一个公共区间内各自"走了几个周期"，再用五点法估出交点数。

解题思路

1. $y=\sin x$ 在 $[0,2\pi]$ 上恰好 1 个周期；
2. $y=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期 $T=\dfrac{2\pi}{3}$，在 $[0,2\pi]$ 上恰好 3 个周期；
3. 每个周期内两曲线约有 2 个交点 → 共约 6 个；
4. 用五点法画出两函数在 $[0,2\pi]$ 的图象，数形确认交点数为 6。

易错点

• ① 忽视振幅不同（$1$ 与 $2$），误以为交点数等于周期数的简单倍数；
• ② 忘记第二个函数的周期为 $\dfrac{2\pi}{3}$（$\omega=3$），误按 $2\pi$ 计算；
• ③ 直接试图解 $\sin x=2\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{6}\right)$，陷入复杂运算。

方法提示：此类题"画图 + 数交点"远快于代数求解，应作为固定套路训练。

2024-2｜2024·新课标Ⅰ卷 · 选择题

分册-考点：专题13-01 两角和差公式　难度：基础（解析长 246）

题干：已知 $\cos(\alpha+\beta)=m$，$\tan\alpha\tan\beta=2$，则 $\cos(\alpha-\beta)=$（　） A．$-3m$　B．$-\dfrac{m}{3}$　C．$\dfrac{m}{3}$　D．$3m$

答案：A（$=-3m$）

考查角度：整体代换——不求 $\alpha,\beta$，而是把 $\cos\alpha\cos\beta$ 与 $\sin\alpha\sin\beta$ 各自视为整体，通过两角和与两角差的余弦公式建立联系。

解题思路

1. $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=m$；
2. 由 $\tan\alpha\tan\beta=2$ 得 $\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=2$，即 $\sin\alpha\sin\beta=2\cos\alpha\cos\beta$；
3. 代入得 $\cos\alpha\cos\beta-2\cos\alpha\cos\beta=m\Rightarrow \cos\alpha\cos\beta=-m$，进而 $\sin\alpha\sin\beta=-2m$；
4. $\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=-m-2m=-3m$。

易错点

• ① 两角差余弦公式的符号记错（应为"加"号，误写成减号则得 $m$）；
• ② 由 $\tan\alpha\tan\beta=2$ 转换时漏掉 $\cos\alpha\cos\beta\ne0$ 的前提（本题隐含可除）；
• ③ 误认为 $m$ 有具体数值而试图求 $\alpha,\beta$。

2024-3｜2024·新课标Ⅰ卷 · 解答题

分册-考点：专题16-05 面积及其最值　难度：中档（解析长 610，为一卷解答题中最高）　小问：2

题干：记 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 $\sin C=\sqrt2\cos B$，$a^2+b^2-c^2=\sqrt2\,ab$。 (1) 求 $B$；(2) 若 △ABC 的面积为 $3+\sqrt3$，求 $c$。

答案：(1) $B=\dfrac{\pi}{3}$　(2) $c=2\sqrt2$（源文答案字段残缺，此处由解析链还原，建议以原卷核对）

考查角度：第(1)问把余弦定理的变形 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$ 与已知条件联立，再结合平方关系定角；第(2)问用正弦定理把 $a,b$ 都表示为含 $c$ 的式子，最后代入面积公式解方程。

解题思路

1. 由余弦定理 $a^2+b^2-c^2=2ab\cos C$，结合题设 $=\sqrt2 ab$，得 $2\cos C=\sqrt2\Rightarrow \cos C=\dfrac{\sqrt2}{2}$，$C=\dfrac{\pi}{4}$；
2. 由 $\sin C=\sqrt2\cos B$ 得 $\dfrac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\cos B\Rightarrow \cos B=\dfrac12$，$B=\dfrac{\pi}{3}$；
3. $A=\pi-B-C=\pi-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{5\pi}{12}$；
4. 正弦定理：$a=\dfrac{c\sin A}{\sin C}$，$b=\dfrac{c\sin B}{\sin C}$；
5. 面积 $S=\dfrac12 ab\sin C=\dfrac{c^2\sin A\sin B}{2\sin C}=3+\sqrt3$，解得 $c=2\sqrt2$。

易错点

• ① 认不出 $a^2+b^2-c^2$ 就是余弦定理的分子，不会得出 $\cos C$；
• ② 由 $\cos B=\dfrac12$ 得 $B$ 时未用"三角形内角"限定（$B\in(0,\pi)$，唯一解）；
• ③ 第(2)问不会把 $a,b$ 统一用 $c$ 表示，导致三个未知数两个方程无从下手；
• ④ $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ 的值计算错误（$=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$）。

2025-1｜2025·全国一卷 · 选择题

分册-考点：专题12-08 求参数范围（同题亦收录于专题15-02 最小值问题）　难度：基础（解析长 234）

题干：已知点 $(a,0)\,(a>0)$ 是函数 $y=2\tan\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$ 的图象的一个对称中心，则 $a$ 的最小值为（　） A．$\dfrac{\pi}{6}$　B．$\dfrac{\pi}{3}$　C．$\dfrac{\pi}{2}$　D．$\dfrac{2\pi}{3}$

答案：B（$=\dfrac{\pi}{3}$）

考查角度：正切函数对称中心的结论性知识。正切 $y=A\tan(\omega x+\varphi)$ 的对称中心横坐标为 $\omega x+\varphi=\dfrac{k\pi}{2}$（$k\in\mathbb Z$），纵坐标为 $0$。

解题思路

1. 令 $x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{k\pi}{2}$，得 $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{k\pi}{2}$；
2. 要求 $a>0$ 且最小：$k=0$ 时 $a=\dfrac{\pi}{3}$；$k=-1$ 时 $a=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{2}=-\dfrac{\pi}{6}<0$（舍）；
3. 故 $a_{\min}=\dfrac{\pi}{3}$。

易错点

• ① 把正切对称中心误记为 $x-\dfrac{\pi}{3}=k\pi$（那是渐近线/零点的一部分，不完整）——正切对称中心间隔为 $\dfrac{\pi}{2}$；
• ② 忘记 $a>0$ 的约束，取 $k=-1$ 得到负值；
• ③ 混淆"对称中心"与"对称轴"（正切函数无对称轴）。

备注：本题同时被专题12 与专题15 收录，去重时已合并。

2025-2｜2025·全国一卷 · 多选题（本板块最难）

分册-考点：专题13-02 二倍角公式　难度：高难度（解析长 1804，为整套样本最高）　题型：多选

题干：（多选）已知 △ABC 的面积为 $1$，若 $\cos^2A+\cos^2B+2\sin C=2$，$\cos A\cos B\sin C=\dfrac14$，则（　） A．$\sin C=\sin^2A+\sin^2B$　B．$AB=2\sqrt6$　C．$\sin A+\sin B=\dfrac32$　D．$AC+BC=3\sqrt2$

答案：ABC（D 不成立）

考查角度：把三角恒等变换（二倍角、平方关系）与解三角形（正弦定理、余弦定理、射影定理、面积）深度捆绑，四个选项须逐一判定。解析版为此题给出四种解法通道，是"一题多解"的极佳素材。

解题思路

1. 先破 A 选项：由 $\cos^2A+\cos^2B+2\sin C=2$，用 $\cos^2X=1-\sin^2X$ 代入：

$2-(\sin^2A+\sin^2B)+2\sin C=2\Rightarrow \sin^2A+\sin^2B=2\sin C$，即 A 成立；

1. 再由 $\cos A\cos B\sin C=\dfrac14$ 定角：解析版列出四条通道
   • 方法一：分情况比较 $A+B$ 与 $\dfrac{\pi}{2}$ 的大小（分类讨论）；
   • 方法二：用正、余弦定理化为边的讨论；
   • 方法三：结合射影定理 $c=a\cos B+b\cos A$；
   • 方法四：在方法三基础上用和差化积回避讨论；
2. 定出 $A,B$ 后，由面积 $S=1$ 求出三边，进而判定 B、C、D。

易错点

• ① 多选题只判定部分选项就作答（本题须逐项验证）；
• ② 平方关系替换方向搞反（应把 $\cos^2$ 换成 $1-\sin^2$）；
• ③ 不会用射影定理，只能走分类讨论，耗时且易漏情况；
• ④ 求出 $A,B$ 后忘记用"面积为 1"这一条件，边长算不出。

教学提示：建议把本题作为尖子生专题，让学生用四种方法各做一遍，体会通法与巧法的差距。

2026-1｜2026·全国一卷 · 选择题

分册-考点：专题11-04 诱导公式　难度：基础（解析长 268）

题干：已知集合 $A=\{\sin\theta,\cos\theta,\tan\theta\}$（$\theta$ 取若干特殊角），$B=\left\{-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2},1\right\}$ 之类，则 $A\cap B=$（　） A．$\left\{-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2}\right\}$　B．$\left\{-\dfrac12,1\right\}$　C．$\left\{-\dfrac{\sqrt3}{2},1\right\}$　D．$\left\{-\dfrac12,-\dfrac{\sqrt3}{2},1\right\}$

答案：C（据源文答案字段判定为 C）

⚠️ 存疑标注：本题干与选项的具体数值在源文中残缺（PDF 转 md 时特殊角与根式错位），上方题干为根据残片整理的表述框架，具体角值与选项内容请以原卷为准。可确定的信息是：考点为「诱导公式 / 特殊角三角函数值」，题型为集合交集型选择，难度基础。

考查角度（可确定部分）：以特殊角的三角函数值构造集合，考查诱导公式与特殊角值的熟练度，再求集合交集。这类题属于"送分题"，但要求特殊角值表完全熟练。

易错点

• ① 特殊角（$\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{4}$ 及其诱导变形）的三角函数值记混；
• ② 集合元素重复时需先化简集合再求交集；
• ③ 诱导公式符号判断（"符号看象限"）出错。

2026-2｜2026·全国一卷 · 填空题

分册-考点：专题12-07 求参数值　难度：中高档（解析长 1099）　小问：两空

题干：已知 $f(x)=2\sin(ax+\varphi)$（$a\in\mathbb Z$，$0\le\varphi<2\pi$）是偶函数，且 $f(x)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上单调递增，则 $\varphi=$ ________，$f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=$ ________。

⚠️ 存疑标注：源文答案字段残缺（仅残留碎片，无法可靠还原具体数值）。所求量名称与数值请以原卷为准。下方仅给出解题思路骨架。

考查角度：把奇偶性与单调性两个性质叠加，共同约束参数 $a$ 与 $\varphi$。属于一卷"填空压轴化"的代表——题面短，但约束条件多、需分类检验。

解题思路（据解析版分析整理）

1. 解析版指出"根据单调性和周期性可得 $a=1,2$"——先由单调区间长度与周期的关系缩小整数 $a$ 的范围；
2. 由偶函数得 $\varphi=\dfrac{\pi}{2}$ 或 $\dfrac{3\pi}{2}$（即 $f(x)$ 化为 $\pm2\cos ax$ 的形式）；
3. 代入单调性检验：解析版给出三种通道
   • 解法一：把两个 $\varphi$ 分别代入，结合 $\left[0,\dfrac{2\pi}{3}\right]$ 上的单调性逐一检验；
   • 解法二：由 $f(0)=0$（需结合具体所求量）配合导数与单调性的关系分析；
   • 解法三：判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取到极小值，据此定 $\varphi=\dfrac{3\pi}{2}$；
4. 定出 $a,\varphi$ 后代值求 $f\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)$。

易错点

• ① 由偶函数得 $\varphi$ 时出现两解，必须代回单调性检验，不可直接取一个；
• ② 忽略 $a\in\mathbb Z$ 的整数约束，把 $a$ 当连续参数处理；
• ③ 单调区间端点与周期的关系（区间长度不得超过半个周期）未检验；
• ④ 填空题两空，只填一空。

2026-3｜2026·全国一卷 · 解答题

分册-考点：专题16-02 求边长　难度：基础（解析长 596）　小问：2

题干：已知在 △ABC 中，$AB=3$，$BC=2\sqrt3$，$\cos B=\dfrac{\sqrt3}{3}$（数值存疑，见下）。 (1) 求 $\cos A$；(2) 设 D、E 两点满足：D 在 BA 的延长线上，$DE\parallel BC$，$AE\perp AC$。若 $DE=6$，求 $CE$。

答案：(1)（源文残缺）　(2)（源文残缺，均需以原卷核对）

⚠️ 存疑标注：$\cos B$ 的具体数值与两问答案在源文中错乱，不作臆断。可确定的结构信息：第(1)问用余弦定理；第(2)问用坐标法。

考查角度（可确定部分）：第(1)问是余弦定理的标准应用（已知两边及夹角 → 求第三边 → 再求角）；第(2)问是几何关系 + 坐标法的综合——由平行、垂直两个几何条件建立坐标系求解，属于"解三角形 × 平面几何"的杂糅。

解题思路（据解析版分析整理）

1. 第(1)问：由余弦定理先求第三边 $AC$，再用余弦定理求 $\cos A$；
2. 第(2)问：建立平面直角坐标系，设出点 D 的坐标；由 $DE\parallel BC$ 得点 E 坐标；由 $AE\perp AC$（垂直条件）求参数；由 $DE=6$ 解出参数值，最后计算 $CE$。

易错点

• ① 第(1)问两次用余弦定理时对应关系搞错（哪条边对哪个角）；
• ② 第(2)问未能识别"平行 + 垂直"适合建系坐标法，仍在纯几何中绕圈；
• ③ D 在 BA 的延长线上（不是线段 BA 上），坐标设错方向；
• ④ 求出参数后未检验几何位置是否合理。

附：12 题速查表