A③ 典型题剖析

选题原则：覆盖不同分册、不同卷系、不同难度层，且均为十年中反复出现的范式题。

每题按「出处 → 考查角度 → 解题路径 → 关键步骤 → 易错点」展开。

⚠️ 源文公式存在 OCR 残缺，凡数值处已注明；标注"存疑"者请以原卷为准。

典型题 1｜2017·全国Ⅰ卷 · 解答题（专题16 考点04 求周长）

难度：中档（均解析长 770）　卷系：老全国卷

题干

△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 △ABC 的面积为 $\dfrac{a^2}{3\sin A}$．

(1) 求 $\sin B\sin C$；　(2) 若 $6\cos B\cos C=1$，$a=3$，求 △ABC 的周长．

考查角度 以"面积的非常规表达式"为入口，考查面积公式 + 正弦定理的联立，第二问再叠加余弦定理与整体代换。属于全国卷解答题的经典范式：先边角互化，再整体求值。

解题路径

1. 把 $S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$ 与题设 $S=\dfrac{a^2}{3\sin A}$ 联立；
2. 用正弦定理 $a=2R\sin A,\ b=2R\sin B,\ c=2R\sin C$ 全部化为角；
3. 约去 $R$ 与 $\sin A$，直接得 $\sin B\sin C$；
4. 第二问由 $\cos(B+C)=\cos B\cos C-\sin B\sin C$ 定出 $A$；
5. 回代面积求 $bc$，再用余弦定理求 $b+c$。

关键步骤 $$S=\tfrac12 bc\sin A=\tfrac12(2R)^2\sin B\sin C\sin A,\qquad \frac{a^2}{3\sin A}=\frac{(2R)^2\sin^2 A}{3\sin A}$$ 两式相等并约去 $(2R)^2\sin A$：$\tfrac12\sin B\sin C=\tfrac13\Rightarrow \sin B\sin C=\dfrac23$

$$\cos(B+C)=\tfrac16-\tfrac23=-\tfrac12\Rightarrow B+C=\tfrac{2\pi}{3},\ A=\tfrac{\pi}{3}$$ $$S=\frac{9}{3\cdot\frac{\sqrt3}{2}}=2\sqrt3=\tfrac12 bc\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\Rightarrow bc=8$$ $$a^2=(b+c)^2-2bc-2bc\cos A=(b+c)^2-3bc\Rightarrow 9=(b+c)^2-24$$ $$\Rightarrow b+c=\sqrt{33},\quad \text{周长}=3+\sqrt{33}$$

答案：(1) $\dfrac{2}{3}$　(2) $3+\sqrt{33}$（源文答案字段残缺，此处由解析链还原，建议以原卷核对）

易错点

• ① 不会把 $a^2$ 也用正弦定理化为 $(2R\sin A)^2$，导致无法约分；
• ② 第二问忘记 $A=\pi-(B+C)$，直接用 $\cos(B+C)$ 求 $A$ 时符号出错；
• ③ 求 $b+c$ 时用错公式（应为 $(b+c)^2-3bc$，因 $\cos A=\tfrac12$ 时 $2bc(1+\cos A)=3bc$）。

典型题 2｜2019·全国Ⅲ卷 · 解答题（专题16 考点05 面积及其最值）

难度：高难度（均解析长 1746，为板块最长之一）　卷系：老全国卷

题干

△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 $a\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A$．

(1) 求 $B$；(2) 若 △ABC 为锐角三角形，且 $c=1$，求 △ABC 面积的取值范围．

考查角度 第(1)问用半角 + 正弦定理化简；第(2)问是本板块最具区分度的设问类型之一——在"锐角三角形"约束下求面积范围。难点不在计算，而在定义域的确定。

解题路径

1. 由 $A+C=\pi-B$，得 $\sin\dfrac{A+C}{2}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{B}{2}\right)=\cos\dfrac{B}{2}$；
2. 正弦定理边化角：$a\sin\dfrac{A+C}{2}=b\sin A\Rightarrow \sin A\cos\dfrac{B}{2}=\sin B\sin A$，约去 $\sin A$；
3. 用 $\sin B=2\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}$ 得 $\cos\dfrac{B}{2}=2\sin\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{B}{2}\Rightarrow \sin\dfrac{B}{2}=\dfrac12\Rightarrow B=\dfrac{\pi}{3}$；
4. 第二问：把面积写成关于 $C$ 的函数 $S(C)$，再由"锐角三角形"三个内角均 $<\dfrac{\pi}{2}$ 定出 $C$ 的范围，最后求值域。

关键步骤（第二问） $$S=\tfrac12 ac\sin B,\quad \text{由正弦定理}\ a=\frac{c\sin A}{\sin C}=\frac{\sin\!\left(\frac{2\pi}{3}-C\right)}{\sin C}$$ $$S(C)=\frac{\sqrt3}{4}\cdot\frac{\sin\left(\frac{2\pi}{3}-C\right)}{\sin C}$$ 锐角约束：$A=\dfrac{2\pi}{3}-C<\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow C>\dfrac{\pi}{6}$；且 $C<\dfrac{\pi}{2}$；又 $B=\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{\pi}{2}$ 已满足。 故 $C\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{2}\right)$，在该区间上求 $S(C)$ 值域。

答案：(1) $B=\dfrac{\pi}{3}$　(2) 面积范围（源文残缺，需对照原卷；方法见上）

易错点

• ① 半角化简时 $\sin\dfrac{A+C}{2}$ 的转换出错；
• ② 遗漏"锐角三角形"对 $A$、$C$ 的双重约束，只写 $C<\dfrac{\pi}{2}$ 而漏 $C>\dfrac{\pi}{6}$，导致范围偏大；
• ③ 面积函数化简后未注意分母 $\sin C$ 的单调性，值域端点取错（两端均为开区间）。

典型题 3｜2024·新课标Ⅱ卷 · 解答题（专题16 考点04 求周长）

难度：中高档（均解析长 1204）　卷系：新高考卷

题干

记 △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 $\sin A+\sqrt3\cos A=2$．

(1) 求 $A$；(2) 若 $a=2$，$2b\sin C=c\sin 2B$，求 △ABC 的周长．

考查角度 第(1)问是辅助角公式的直接应用（$\sin A+\sqrt3\cos A=2\sin\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)$）；第(2)问用正弦定理边角互化处理 $\sin 2B$，再求周长。体现新高考卷"入口宽、方法多"的特点。

解题路径

1. 辅助角：$2\sin\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)=2\Rightarrow \sin\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)=1$；
2. 由 $A\in(0,\pi)$ 得 $A+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow A=\dfrac{\pi}{6}$；
3. 第二问：$2b\sin C=c\sin 2B=2c\sin B\cos B$，正弦定理边化角后约去 $\sin B\sin C$，得 $\cos B$；
4. 定出 $B$，再由正弦定理求 $b,c$，相加得周长。

答案：(1) $A=\dfrac{\pi}{6}$　(2) $2+\sqrt6+3\sqrt2$（源文残缺，此处由解析链还原，建议以原卷核对）

易错点

• ① 辅助角系数提取错误（应为 $2\sin\left(A+\dfrac{\pi}{3}\right)$ 而非 $2\sin\left(A+\dfrac{\pi}{6}\right)$）；
• ② 第(2)问 $\sin 2B$ 展开后未边角互化，陷入 $b,c$ 的方程组；
• ③ 求出 $\cos B$ 后未检验 $B$ 是否使三角形成立（内角和 $< \pi$）。

典型题 4｜2025·北京卷 · 解答题（专题16 考点06 劣构性试题）

难度：中档（均解析长 860）　卷系：自主命题卷

题干

在 △ABC 中，$\cos A=-\dfrac{1}{3}$，$a\sin C=4\sqrt2$．

(1) 求 $c$ 的值；

(2) 再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得 △ABC 存在，求 BC 边上的高．

条件①：$a=6$；条件②：$a\sin B=\dfrac{10\sqrt2}{3}$；条件③：△ABC 的面积为 $10\sqrt2$．

考查角度 劣构性试题（选择性条件）是北京卷的特色题型，也是新高考改革后全国卷逐步吸收的方向。它考查的不仅是求解，更是"判断所选条件能否使三角形存在"——即解三角形的解的讨论。

解题路径

1. 第(1)问：由 $\cos A=-\dfrac13$ 得 $\sin A=\dfrac{2\sqrt2}{3}$；正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}$，结合 $a\sin C=4\sqrt2$ 直接求 $c$；
2. 第(2)问：对三个条件逐一验证存在性，再对成立者求解；
   • 选①：由 $a=6$ 反推角，会出现 $A$、$C$ 均为钝角的矛盾 → 三角形不存在；
   • 选②：由正弦定理求 $b$，余弦定理求 $a$，等面积法求高 → 存在；
   • 选③：由面积求 $b$，余弦定理求 $a$，等面积法求高 → 存在。

答案：(1) $c=6$　(2) 选①不存在；选②、③高均为 $\dfrac{20\sqrt2}{9}$（源文残缺，需对照原卷）

易错点

• ① 不作存在性判断，选①后照算不误；
• ② 忽略 $\cos A<0$ 说明 $A$ 为钝角，因而 $B$、$C$ 必为锐角——这是排除条件①的关键；
• ③ 等面积法求高时用错对应关系（应为 $h=\dfrac{2S}{a}$，$a$ 为 BC 边长）。

典型题 5｜2025·全国一卷 · 多选题（专题13 考点02 二倍角公式）

难度：高难度（均解析长 1812，为板块最高）　卷系：新高考卷

题干

（多选）已知 △ABC 的面积为 $1$，若 $\cos^2A+\cos^2B+2\sin C=2$，$\cos A\cos B\sin C=\dfrac14$，则（　）

A．$\sin C=\sin^2A+\sin^2B$　B．$AB=2\sqrt6$　C．$\sin A+\sin B=\dfrac32$　D．$AC+BC=3\sqrt2$

考查角度 本板块唯一的"高难度选择题"。把三角恒等变换（二倍角、平方关系）与解三角形（正弦定理、余弦定理、射影定理、面积）深度捆绑，且为多选题——四个选项需逐一判定，任一个判断失误即失分。

解题路径（解析版给出四条通道，体现"一题多解"的命题取向）

1. 由 $\cos^2A+\cos^2B+2\sin C=2$，用 $\cos^2=1-\sin^2$ 化出 $\sin^2A+\sin^2B=2\sin C-2+\sin^2A+\sin^2B$… 准确地说先推 A 选项；
2. 解析版列出四种后续方法：
   • 方法一：分情况比较 $A+B$ 与 $\dfrac{\pi}{2}$ 的大小（分类讨论）；
   • 方法二：用正、余弦定理化边讨论；
   • 方法三：结合射影定理 $c=a\cos B+b\cos A$ 解决；
   • 方法四：在方法三基础上用和差化积回避讨论；
3. 由 $\cos A\cos B\sin C=\dfrac14$ 定出 $A,B$，再用面积求三边长，逐项判定。

答案：ABC（即 D 不成立）

易错点

• ① 多选题只判定部分选项就作答；
• ② 由 $\cos^2A+\cos^2B+2\sin C=2$ 推 A 选项时，平方关系替换方向搞反；
• ③ 不会用射影定理，只能走分类讨论，耗时且易漏情况；
• ④ 忽略"面积为 1"这一关键量，导致边长算不出。

教学提示：本题解析版给出 4 种解法，是训练"一题多解"的极佳素材，建议作为尖子生专题。

典型题 6｜2026·全国二卷 · 解答题（专题16 考点04 求周长）

难度：中档（均解析长 882）　卷系：新高考卷

题干

在 △ABC 中，已知 $\cos B=\dfrac14$，$\cos(A+C)+\sin A\sin C=1$．

(1) 证明：△ABC 为钝角三角形；

(2) 若 △ABC 的面积为 $\dfrac{7}{4}$，求 △ABC 的周长．

考查角度 第一问改为"证明型"设问（证明钝角三角形），这是近年解答题第一问的新变化——不再是单纯的计算，而是要求符号判断与逻辑表述。

解题路径

1. $A+C=\pi-B\Rightarrow \cos(A+C)=-\cos B=-\dfrac14$；
2. 代入得 $-\dfrac14+\sin A\sin C=1\Rightarrow \sin A\sin C=\dfrac54$；

⚠️ 此处源文数值可疑：$\sin A\sin C=\dfrac54>1$ 不可能成立，疑为 OCR 误识（解析版另处给出 $\sin A\sin C=\dfrac{9}{16}$）。实际数值请以原卷为准，本处仅展示方法骨架；

1. 由 $\cos(A+C)=\cos A\cos C-\sin A\sin C<0$ 推出 $\cos A\cos C<0$，即 $A$、$C$ 中有一为钝角 → 得证；
2. 第二问：解析版提示用 $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$ 求 $R$，再由正弦定理求 $b$，最后联立余弦定理与面积公式解 $a,c$。

易错点

• ① 忽略 $\cos(A+C)=-\cos B$ 的转换，直接用 $A+C$ 计算；
• ② 证明题只算出数值而不作"故为钝角三角形"的结论性表述；
• ③ 第二问面积公式变形式 $S=2R^2\sin A\sin B\sin C$ 不熟，导致无从下手。

典型题速查表