等差数列 · 下标和性质
$$m+n=r+s\Rightarrow a_m+a_n=a_r+a_s,\quad m+n=2r\Rightarrow a_m+a_n=2a_r$$
$m,n,r,s\in\mathbf{N}^*$；推论 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$，如 $S_7=7a_4$。
第八章 数列 · 模块一 等差、等比数列问题
等差、等比数列的
等差、等比数列的
基本性质
诸多等差、等比数列问题，除了直接套用通项公式与前 n 项和公式外，若能灵活运用下标和性质、片段和性质等常用性质，往往可以大幅降低计算量——把已知条件"翻译"成性质结构，即可快速求解。
难度 ★★
高考核心方法
方法册 + 练习册
熟记等差、等比数列的下标和性质、前 n 项和性质与片段和性质（含推论）
会识别"下标和定值、下标成倍数、出现 $S_n/n$ 结构"等特征，匹配对应性质
会用性质快速转化目标式（注意等比 $q\neq-1$ 等前提，结合正负号取舍）
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知识导览 · 01
内容提要
三大常用性质 · 降低计算量的关键
等差数列 · 和与片段和
$$\left\{\frac{S_n}{n}\right\}\text{ 等差，公差 }\frac d2;\qquad S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m},\cdots\text{ 公差 }m^2d$$
由 $\dfrac{S_n}{n}=a_1+\dfrac{n-1}{2}d$ 即可验证。
等比数列 · 下标和性质
$$m+n=r+s\Rightarrow a_m\cdot a_n=a_r\cdot a_s,\quad m+n=2r\Rightarrow a_m\cdot a_n=a_r^2$$
特别适合快速处理若干项的连乘积。
等比数列 · 片段和性质
$$q\neq-1\text{（或 }m\text{ 为奇数）}\Rightarrow S_m,S_{2m}-S_m,S_{3m}-S_{2m},\cdots\text{ 等比，公比 }q^m$$
等差数列与等比数列的片段和性质，代入前 n 项和公式即可证明。
知识导览 · 02
性质应用解题路径
识别结构 → 匹配性质 → 转化求解
1
看下标定值
条件中若干项相加（或相乘），先看下标和是否定值——是，则用下标和性质。
2
看倍数下标
条件与所求下标都是同一正整数的倍数（如 $S_m$、$S_{2m}-S_m\cdots$）——用片段和性质。
3
看结构特征
出现 $S_n/n$ 或 $S_n$ 与 $n$ 的比值结构——$\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列。
4
验前提取舍
等比用片段和性质先确认 $q\neq-1$；结果带 $\pm$ 时用奇数项、偶数项同号取舍。
核心思想：识别"下标和定值、下标成倍数、$S_n/n$ 结构"三大特征，把已知与所求翻译成性质结构，从而减少计算量；等比问题同时注意性质成立的前提条件。
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
例 1
★★
已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_2+a_3+a_6+a_7=2$，则 $a_4+a_5=$（ ）
A．$\dfrac12$ B．$1$ C．$\dfrac32$ D．$2$
答案：B
解 析
条件中的 $a_2$ 和 $a_7$、$a_3$ 和 $a_6$，以及要求的 $a_4+a_5$，下标和都为 $9$，故用下标和性质处理：
$$a_2+a_3+a_6+a_7=(a_2+a_7)+(a_3+a_6)=2(a_4+a_5)=2$$
所以 $a_4+a_5=1$。
答案：B
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
例 2
★★
已知 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_3+a_7=8$，则 $S_9=$（ ）
A．$24$ B．$36$ C．$48$ D．$72$
答案：B
解 析
观察下标：由 $a_3+a_7=8$ 可快速求出 $a_5$，再利用推论 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$，恰好可用 $a_5$ 表示 $S_9$：
$$a_3+a_7=2a_5=8\ \Longrightarrow\ a_5=4,\qquad S_9=9a_5=36$$
答案：B（$S_9=36$）
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
变式 1
★★★
设等差数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_n$，$T_n$，若 $\dfrac{S_n}{T_n}=\dfrac{3n+5}{4n-2}$，则 $\dfrac{a_8}{b_8}=$____．
答案：$\dfrac{25}{29}$
解 析
给出 $S_n$ 与 $T_n$ 的比值，结合所求，可用 $S_{2n-1}=(2n-1)a_n$、$T_{2n-1}=(2n-1)b_n$ 转换成 $a_n$ 与 $b_n$ 的比值：
$$\frac{S_n}{T_n}=\frac{3n+5}{4n-2}\ \Longrightarrow\ \frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{3(2n-1)+5}{4(2n-1)-2}=\frac{3n+1}{4n-3}$$
$$\frac{S_{2n-1}}{T_{2n-1}}=\frac{(2n-1)a_n}{(2n-1)b_n}=\frac{a_n}{b_n},\qquad \frac{a_n}{b_n}=\frac{3n+1}{4n-3}$$
所以 $\dfrac{a_8}{b_8}=\dfrac{3\times8+1}{4\times8-3}=\dfrac{25}{29}$。
答案：$\dfrac{25}{29}$
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
变式 2
★★★
设等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $S_{4047}>0$，$S_{4046}<0$，则当 $n=$____时，$S_n$ 最小．
答案：$2023$
解 析
判断 $S_n$ 何时最小，只需找到 $\{a_n\}$ 中哪些项为正、哪些项为负。把条件中 $S_n$ 的正负转换成项的正负：
$$S_{4047}=4047a_{2024}>0\ \Longrightarrow\ a_{2024}>0\ \text{①}$$
$$S_{4046}=\frac{4046(a_1+a_{4046})}{2}<0\ \Longrightarrow\ a_1+a_{4046}<0$$
为把①用起来，用下标和性质把 $a_1+a_{4046}$ 换成 $a_{2023}+a_{2024}$（下标和都为 $4047$），于是 $a_{2023}+a_{2024}<0$，结合 $a_{2024}>0$ 得 $a_{2023}<0$，故 $d=a_{2024}-a_{2023}>0$，$\{a_n\}$ 递增：
$$a_1\lt a_2\lt\cdots\lt a_{2023}\lt 0\lt a_{2024}\lt a_{2025}\lt\cdots$$
所以当 $n=2023$ 时，$S_n$ 最小。
答案：$2023$
反思：下标和性质（例1）及其推论（例2、变式1、变式2）是等差数列最常用的一条性质——出现等差数列中几项相加，或涉及 $S_n$ 时，可考虑用下标和性质及其推论。
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
例 3
★★★
在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，其前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\dfrac{S_{10}}{10}-\dfrac{S_8}{8}=2$，则 $S_{40}=$____．
答案：$S_{40}=1600$
解 析
解法1：翻译成 $a_1$ 和 $d$，代公式
设公差为 $d$，因为 $\dfrac{S_{10}}{10}-\dfrac{S_8}{8}=2$，所以
$$\frac{10a_1+45d}{10}-\frac{8a_1+28d}{8}=2,\qquad \text{结合 }a_1=1\text{ 解得 }d=2$$
$$S_{40}=40a_1+\frac{40\times39}{2}d=40+1560=1600$$
解法2：用性质 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列
设 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 的公差为 $d'$，则 $\dfrac{S_{10}}{10}-\dfrac{S_8}{8}=2d'=2$，所以 $d'=1$；又 $\dfrac{S_1}{1}=a_1=1$，故
$$\frac{S_n}{n}=1+(n-1)\times1=n\ \Longrightarrow\ S_n=n^2,\qquad S_{40}=40^2=1600$$
答案：$S_{40}=1600$
反思：相比之下解法2计算量更小。若涉及 $S_n/n$ 这种结构的条件，可考虑用性质“$\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 也是等差数列”。
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
例 4
★★★
已知 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{20}=5$，$S_{60}=45$，则 $S_{40}=$____．
答案：$S_{40}=20$
解 析
$S_{20}$、$S_{60}$、$S_{40}$ 的下标都是 $20$ 的整数倍，联想到等差数列的片段和性质：
$$S_{20},\ S_{40}-S_{20},\ S_{60}-S_{40}\ \text{成等差数列}\ \Longrightarrow\ 2(S_{40}-S_{20})=S_{20}+S_{60}-S_{40}$$
代入 $S_{20}=5$，$S_{60}=45$，得 $2(S_{40}-5)=5+45-S_{40}$，解得 $S_{40}=20$。
答案：$S_{40}=20$
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
变式 3
★★
等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_n=1$，$S_{3n}-S_n=5$，则 $S_{4n}=$（ ）
A．$10$ B．$20$ C．$30$ D．$15$
答案：A
解 析
所给条件的下标都是 $n$ 的整数倍，用片段和性质：$S_n$，$S_{2n}-S_n$，$S_{3n}-S_{2n}$，$S_{4n}-S_{3n}$ 成等差数列，设公差为 $d$，则
$$S_{3n}-S_n=(S_{3n}-S_{2n})+(S_{2n}-S_n)=(S_n+2d)+(S_n+d)=2S_n+3d=2+3d=5$$
所以 $d=1$，故
$$S_{4n}=(S_{4n}-S_{3n})+(S_{3n}-S_{2n})+(S_{2n}-S_n)+S_n=4S_n+\frac{4\times3}{2}d=4+6=10$$
答案：A（$S_{4n}=10$）
类型Ⅰ · 等差数列性质的应用
变式 4
2020 · 新课标Ⅱ卷
★★
北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。上层中心有一块圆形石板（称为天心石）。环绕天心石砌 $9$ 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 $9$ 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多 $9$ 块，向外每环依次也增加 $9$ 块。已知每层环数相同，且下层比中层多 $729$ 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（ ）
A．$3699$ 块 B．$3474$ 块 C．$3402$ 块 D．$3339$ 块
答案：C
解 析
先把文字信息翻译成数列问题：设上层各环块数依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_m$，中层为 $a_{m+1},\cdots,a_{2m}$，下层为 $a_{2m+1},\cdots,a_{3m}$，则 $a_1,\cdots,a_{3m}$ 构成首项 $9$、公差 $9$ 的等差数列。
上、中、下三层块数之和分别为 $S_m$，$S_{2m}-S_m$，$S_{3m}-S_{2m}$，由片段和性质它们构成公差为 $m^2d$ 的等差数列。下层比中层多 $729$ 块：
$$(S_{3m}-S_{2m})-(S_{2m}-S_m)=m^2\times9=729\ \Longrightarrow\ m=9$$
于是每层 $9$ 环，三层共 $27$ 环，代前 $n$ 项和公式：
$$S_{27}=27\times9+\frac{27\times26}{2}\times9=3402$$
答案：C（$3402$ 块）
总结：等差数列问题除了用通项、前 n 项和公式处理外，若能灵活运用有关性质，可降低计算量。
类型Ⅱ · 等比数列性质的应用
例 5
★★
等比数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$a_5a_6+a_4a_7=16$，则 $\log_2a_1+\log_2a_2+\cdots+\log_2a_{10}=$（ ）
A．$20$ B．$15$ C．$8$ D．$3+\log_25$
答案：B
解 析
看到 $a_5a_6$ 和 $a_4a_7$，用等比数列的下标和性质：$a_5a_6=a_4a_7$，所以
$$a_5a_6+a_4a_7=2a_5a_6=16\ \Longrightarrow\ a_5a_6=8$$
$$\log_2a_1+\cdots+\log_2a_{10}=\log_2(a_1a_2\cdots a_{10})=\log_2\big[(a_1a_{10})(a_2a_9)(a_3a_8)(a_4a_7)(a_5a_6)\big]$$
$$=\log_2(a_5a_6)^5=5\log_2(a_5a_6)=5\log_28=15$$
答案：B（$15$）
类型Ⅱ · 等比数列性质的应用
变式 1
★★★
在各项均为正数的等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1a_5+2a_4a_6+a_5a_9=8$，则 $a_3+a_7=$（ ）
A．$1$ B．$\sqrt2$ C．$4$ D．$2\sqrt2$
答案：D
解 析
要算的是 $a_3+a_7$，用下标和性质把所给等式中的各项都化为 $a_3$ 和 $a_7$：
$$a_1a_5+2a_4a_6+a_5a_9=a_3^2+2a_3a_7+a_7^2=(a_3+a_7)^2=8$$
结合 $\{a_n\}$ 各项均为正数，可得 $a_3+a_7=2\sqrt2$。
答案：D（$2\sqrt2$）
类型Ⅱ · 等比数列性质的应用
例 6
2021 · 全国甲卷
★★
记 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_2=4$，$S_4=6$，则 $S_6=$（ ）
A．$7$ B．$8$ C．$9$ D．$10$
答案：A
解 析
$S_2$、$S_4$、$S_6$ 的下标都是 $2$ 的倍数，联想到等比数列的片段和性质。$\{a_n\}$ 的公比 $q\neq-1$（否则 $S_2=S_4=0$，与题设矛盾），所以
$$S_2,\ S_4-S_2,\ S_6-S_4\ \text{成等比数列}\ \Longrightarrow\ (S_4-S_2)^2=S_2(S_6-S_4)$$
将 $S_2=4$ 和 $S_4=6$ 代入，得 $4=4(S_6-6)$，解得 $S_6=7$。
答案：A（$S_6=7$）
类型Ⅱ · 方法小结
方法小结
等差数列：下标和性质及推论最常用（出现几项相加或涉及 $S_n$ 时）；出现 $S_n/n$ 结构用“$\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列”；条件与所求下标为同一倍数时用片段和性质。
等比数列：下标和性质可快速处理若干项的连乘积；用片段和性质前先确认 $q\neq-1$；$a_{2n-1}=a_1q^{2n-2}>0$ 意味着所有奇数项同号、所有偶数项同号，可用来取舍 $\pm$。
强化训练 · 第 1 / 13 题
12023 · 河南郑州模拟 · ★
在等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_6$，$a_7$ 是方程 $x^2+2x-3=0$ 的两根，则 $\{a_n\}$ 的前 $12$ 项和 $S_{12}=$（ ）
A．$12$ B．$18$ C．$-18$ D．$-12$
答案：D
解 析
由韦达定理，$a_6+a_7=-2$。又由下标和性质 $a_1+a_{12}=a_6+a_7$，所以
$$S_{12}=\frac{12(a_1+a_{12})}{2}=6(a_1+a_{12})=6(a_6+a_7)=-12$$
答案：D（$S_{12}=-12$）
强化训练 · 第 2 / 13 题
22022 · 浙江宁波模拟 · ★
若数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 均为等差数列，且 $a_3+b_5=4$，$a_5+b_9=8$，则 $a_4+b_7=$（ ）
A．$5$ B．$6$ C．$7$ D．$8$
答案：B
解 析
两式相加，并用下标和性质（$a_3+a_5=2a_4$，$b_5+b_9=2b_7$）：
$$(a_3+b_5)+(a_5+b_9)=(a_3+a_5)+(b_5+b_9)=2a_4+2b_7=12$$
所以 $a_4+b_7=6$。
答案：B（$6$）
强化训练 · 第 3 / 13 题
32022 · 重庆模拟 · ★★
中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤。问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细。在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤。问依次每一尺各重几斤？”若金锤由粗到细是均匀变化的，则中间三尺的重量为（ ）
A．$3$ 斤 B．$6$ 斤 C．$9$ 斤 D．$12$ 斤
答案：C
解 析
设金锤由粗到细五尺的重量依次为 $a_1,a_2,\cdots,a_5$，则 $\{a_n\}$ 是等差数列，且 $a_1=4$，$a_5=2$。由下标和性质：
$$a_1+a_5=2a_3=6\ \Longrightarrow\ a_3=3$$
所以中间三尺的重量为
$$a_2+a_3+a_4=3a_3=9\ \text{（斤）}$$
答案：C（$9$ 斤）
强化训练 · 第 4 / 13 题
42023 · 河北石家庄模拟 · ★★
记等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_3=5$，$a_5+a_{11}=20$，则 $S_{10}=$____．
答案：$S_{10}=75$
解 析
由 $a_5+a_{11}=2a_8=20$，得 $a_8=10$。又由下标和性质 $a_1+a_{10}=a_3+a_8=15$（下标和都为 $11$），所以
$$S_{10}=\frac{10(a_1+a_{10})}{2}=5(a_1+a_{10})=5\times15=75$$
答案：$S_{10}=75$
强化训练 · 第 5 / 13 题
52022 · 江苏宿迁模拟 · ★★★
若两个等差数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_n$，$B_n$，且 $\dfrac{A_n}{B_n}=\dfrac{2n+1}{3n-2}$，则 $\dfrac{a_5+a_{13}}{b_3+b_{15}}$ 的值为____．
答案：$\dfrac{5}{7}$
解 析
所求式分子分母下标和都为 $18$，先用下标和性质：$a_5+a_{13}=2a_9$，$b_3+b_{15}=2b_9$，所以
$$\frac{a_5+a_{13}}{b_3+b_{15}}=\frac{2a_9}{2b_9}=\frac{a_9}{b_9}\ \text{①}$$
又 $A_{17}=17a_9$，$B_{17}=17b_9$，故 $\dfrac{a_9}{b_9}=\dfrac{A_{17}}{B_{17}}$，代入已知比值：
$$\frac{a_9}{b_9}=\frac{2\times17+1}{3\times17-2}=\frac{35}{49}=\frac57$$
代入①得 $\dfrac{a_5+a_{13}}{b_3+b_{15}}=\dfrac{5}{7}$。
答案：$\dfrac{5}{7}$
强化训练 · 第 6 / 13 题
62023 · 福建厦门第四次质检 · ★★☆
等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$S_9=18$，$S_3=3$，则 $S_6=$（ ）
A．$9$ B．$\dfrac{21}{2}$ C．$12$ D．$\dfrac{27}{2}$
答案：A
解 析
已知和所求的下标都是 $3$ 的倍数，用片段和性质构造关于 $S_6$ 的方程：
$$S_3,\ S_6-S_3,\ S_9-S_6\ \text{成等差数列}\ \Longrightarrow\ 2(S_6-S_3)=S_3+S_9-S_6$$
代入数据得 $2(S_6-3)=3+18-S_6$，解得 $S_6=9$。
答案：A（$S_6=9$）
强化训练 · 第 7 / 13 题
7★ 基础题 · ★★★
等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $\dfrac{S_3}{S_6}=\dfrac14$，则 $\dfrac{S_{15}}{S_9}=$____．
答案：$\dfrac{25}{9}$
解 析
下标都是 $3$ 的倍数，用片段和性质。设 $S_3=m\ (m\neq0)$，则 $S_6=4m$，$S_6-S_3=3m$。
$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$，$S_{12}-S_9$，$S_{15}-S_{12}$ 成等差数列，设公差为 $d$，则 $d=(S_6-S_3)-S_3=2m$，所以
$$S_9=(S_3+2d)+(S_3+d)+S_3=3S_3+3d=9m$$
$$S_{15}=(S_3+4d)+(S_3+3d)+S_9=2m+7\times2m+9m=25m$$
故 $\dfrac{S_{15}}{S_9}=\dfrac{25m}{9m}=\dfrac{25}{9}$。
答案：$\dfrac{25}{9}$
强化训练 · 第 8 / 13 题
82022 · 江苏海安模拟 · ★★★☆
已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_{10}=110$，$S_{110}=10$，则 $S_{120}=$（ ）
A．$-10$ B．$-20$ C．$-120$ D．$-110$
答案：C
解 析
解法1：直接代公式
设公差为 $d$，则
$$\begin{cases}S_{10}=10a_1+45d=110\\S_{110}=110a_1+5995d=10\end{cases}\ \Longrightarrow\ a_1=\frac{659}{55},\ d=-\frac{12}{55}$$
$$S_{120}=120a_1+\frac{120\times119}{2}d=120\times\frac{659}{55}+60\times119\times\left(-\frac{12}{55}\right)=-120$$
解法2：用性质 $\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列
$\left\{\dfrac{S_n}{n}\right\}$ 是等差数列，设公差为 $d'$，则
$$\frac{S_{10}}{10}=11,\quad \frac{S_{110}}{110}=\frac{1}{11}\ \Longrightarrow\ 100d'=\frac{1}{11}-11=-\frac{120}{11}\ \Longrightarrow\ d'=-\frac{6}{55}$$
$$\frac{S_{120}}{120}=\frac{S_{10}}{10}+110d'=11+110\times\left(-\frac{6}{55}\right)=-1\ \Longrightarrow\ S_{120}=-120$$
答案：C（$S_{120}=-120$）
强化训练 · 第 9 / 13 题
92023 · 山东济南模拟 · ★
若等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_3a_{10}a_{17}=8$，则 $a_{10}=$（ ）
A．$1$ B．$2$ C．$4$ D．$8$
答案：B
解 析
用下标和性质（$a_3a_{17}=a_{10}^2$）：
$$a_3a_{10}a_{17}=a_3a_{17}\cdot a_{10}=a_{10}^2\cdot a_{10}=a_{10}^3=8\ \Longrightarrow\ a_{10}=2$$
答案：B（$a_{10}=2$）
强化训练 · 第 10 / 13 题
102023 · 河北石家庄一模 · ★★
已知 $\{a_n\}$ 是各项均为正数的等比数列，$a_1=4$，$S_3=84$，则 $\log_2(a_1a_2a_3\cdots a_8)$ 的值为（ ）
A．$70$ B．$72$ C．$74$ D．$76$
答案：B
解 析
条件中 $S_3$ 下标较小，直接逐项相加：$S_3=a_1(1+q+q^2)=84$，代入 $a_1=4$ 得 $4(1+q+q^2)=84$，解得 $q=4$ 或 $-5$；又各项均为正数，所以 $q=4$，故 $a_n=a_1q^{n-1}=4^n$。
逐项相乘较麻烦，用下标和性质：$a_1a_8=a_2a_7=a_3a_6=a_4a_5$，所以
$$a_1a_2\cdots a_8=(a_1a_8)^4=(4\times4^8)^4=4^{36}=2^{72}$$
$$\log_2(a_1a_2\cdots a_8)=\log_22^{72}=72$$
答案：B（$72$）
强化训练 · 第 11 / 13 题
112022 · 四川绵阳模拟 · ★★☆
已知等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $\log_2a_2+\log_2a_{11}=1$，且 $a_5a_6a_8a_9=16$，则数列 $\{a_n\}$ 的公比为（ ）
A．$2$ B．$4$ C．$\pm2$ D．$\pm4$
答案：A
解 析
由 $\log_2(a_2a_{11})=1$，得 $a_2a_{11}=2$。又用下标和性质（$a_5a_9=a_6a_8$）：
$$a_5a_6a_8a_9=(a_5a_9)(a_6a_8)=(a_6a_8)^2=16\ \Longrightarrow\ a_6a_8=\pm4$$
$\pm4$ 都可取吗？由于 $a_6a_8=a_6\cdot a_6q^2=a_6^2q^2>0$，故只能取正，所以 $a_6a_8=4$，故
$$\frac{a_6a_8}{a_2a_{11}}=\frac{a_1q^5\cdot a_1q^7}{a_1q\cdot a_1q^{10}}=\frac{a_1^2q^{12}}{a_1^2q^{11}}=q=2$$
答案：A（公比为 $2$）
反思：等比数列 $\{a_n\}$ 中，$a_{2n-1}=a_1q^{2n-2}$，而 $q^{2n-2}>0$，所以 $a_{2n-1}$ 与 $a_1$ 同号，即所有奇数项符号相同；同理 $a_{2n}=a_2q^{2n-2}$，所有偶数项也同号。
强化训练 · 第 12 / 13 题
122022 · 江西模拟 · ★★★
已知 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_4=6$，$S_8=18$，则 $a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}=$（ ）
A．$96$ B．$162$ C．$243$ D．$486$
答案：A
解 析
$a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}=S_{20}-S_{16}$，且 $S_{20}$，$S_{16}$，$S_4$，$S_8$ 的下标都是 $4$ 的倍数，用片段和性质。
公比 $q\neq-1$（否则 $S_4=S_8=0$，与题意不符），故 $S_4$，$S_8-S_4$，$S_{12}-S_8$，$S_{16}-S_{12}$，$S_{20}-S_{16}$ 成等比数列，设其公比为 $p$，则
$$p=\frac{S_8-S_4}{S_4}=\frac{18-6}{6}=2$$
$$a_{17}+a_{18}+a_{19}+a_{20}=S_{20}-S_{16}=S_4\cdot p^4=6\times2^4=96$$
答案：A（$96$）
强化训练 · 第 13 / 13 题
132023 · 福建模拟 · ★★★
设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $S_3=\dfrac13S_6$，则 $\dfrac{S_9}{S_6-S_3}=$____．
答案：$\dfrac72$
解 析
$S_3$，$S_6$，$S_9$ 的下标都为 $3$ 的整数倍，用片段和性质。设 $S_3=m$，则 $S_6=3m$。
$S_3$，$S_6-S_3$，$S_9-S_6$ 成等比数列，设其公比为 $q$，则
$$q=\frac{S_6-S_3}{S_3}=\frac{3m-m}{m}=2$$
$$S_9=(S_9-S_6)+(S_6-S_3)+S_3=S_3q^2+S_3q+S_3=7m$$
$$\frac{S_9}{S_6-S_3}=\frac{7m}{3m-m}=\frac72$$
答案：$\dfrac72$