2026 逐题

卷系：新高考卷　|　本年数列题量：2 题　|　专题来源：数列三专题（08 小题综合 / 09 解答题一 / 10 解答题二）

统计口径：与上一轮 136 题完全一致——难度层以「解析版详解文本长度」划分（基础 <600、中档 600–1000、中高档 1000–1500、高难度 >1500）；题型按题干形态判定；方法由解析文本关键词识别。

一、本年数列题概览

二、逐题详解

第 1 题（编号 2026-1）

【题干】

一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有 $108$ 座塔，依山势自上而下排成 $12$ 行，将第 $i$ 行中塔的座数记为 $a_i(i=1,2,\ldots,12)$，其中 $a_1=1$，$a_2=a_3=3$，$a_4=a_5=5$，且 $a_6,a_7,\ldots,a_{12}$ 是一个首项为 $7$、公差为 $2$ 的等差数列．将 $a_1,a_2,\ldots,a_{12}$ 分为 $6$ 组，每组 $2$ 个数，使得每组的 $2$ 个数之和可构成一个项数为 $6$ 且公差为 $d(d>0)$ 的等差数列，则 $d=$（　）

A．$2$　　B．$4$　　C．$6$　　D．$8$

【答案】 B

【详解】

总和约束 + 奇偶性排除

由条件：$a_1=1,\ a_2=a_3=3,\ a_4=a_5=5,\ a_i=7+2(i-6)=2i-5\ (i=6,7,\ldots,12)$．

$12$ 项总和 $=\underbrace{1+3+3+5+5}_{17}+\underbrace{(7+9+11+13+15+17+19)}_{91}=108$（与塔群总数一致，可作校验）．

设新数列 $\{b_n\}$（$n=1,\ldots,6$）为各组之和，公差 $d>0$，则

$$S_6=6b_1+\frac{6\times5}{2}d=108\ \Rightarrow\ b_1+\frac52d=18$$

因 $\{a_n\}$ 前 $12$ 项全为奇数，故每组两数之和 $b_n$ 必为偶数，从而 $d$ 为正偶数．

逐项代入选项：

• $d=2\Rightarrow b_1=13$（奇数），矛盾；
• $d=6\Rightarrow b_1=3$（奇数），矛盾；
• $d=8\Rightarrow b_1=-2$（非正），矛盾；
• $d=4\Rightarrow b_1=8$（偶），可行．

验证 $d=4$ 的构造确实存在：$b_1=a_1+a_6=8$，$b_2=a_2+a_7=12$，$b_3=a_4+a_8=16$，

$b_4=a_3+a_{11}=20$，$b_5=a_5+a_{12}=24$，$b_6=a_9+a_{10}=28$，恰为公差 $4$ 的等差数列．

故选 B．

【易错点】 ① 忽略「各项均为奇数 $\Rightarrow$ 每组和为偶数」这一关键约束，逐个构造耗时；② 只排除不合选项而未验证 $d=4$ 的构造存在性；③ 求和时把 $a_6\sim a_{12}$ 的项数算成 $6$ 项（实为 $7$ 项）。

第 2 题（编号 2026-2）

【题干】

设实数 $q$ 满足：存在数列 $\{a_n\}$，使得对于任意 $n\in\mathbb N^*$，$a_1+a_2+\cdots+a_{3n}=n^2+n$，且 $\{a_n\}$ 中有某连续 $9$ 项 $a_k,a_{k+1},\ldots,a_{k+8}$ 是公比为 $q$ 的等比数列．则 $q$ 的最大值为 $\underline{\qquad\qquad}$．

【答案】 $\sqrt[3]{\dfrac32}$（即 $\left(\dfrac32\right)^{1/3}$）

【详解】

三项块建模 + 按 $k$ 模 $3$ 分类

令 $T_n=a_{3n-2}+a_{3n-1}+a_{3n}$，由题意

$$T_n=(n^2+n)-\left[(n-1)^2+(n-1)\right]=2n$$

即每个"三项块" $B_n$ 的和为 $2n$．

设这连续 $9$ 项为 $x,xq,xq^2,\ldots,xq^8$，记 $C=1+q+q^2>0$．按 $k$ 除以 $3$ 的余数分类：

① $k=3m+1$：$9$ 项恰为 $3$ 个完整三项块，

$$xC=2(m+1),\quad xq^3C=2(m+2),\quad xq^6C=2(m+3)$$

得 $q^3=\dfrac{m+2}{m+1}$ 且 $q^3=\dfrac{m+3}{m+2}$，矛盾，故此起点不存在．

② $k=3m+2$：含第 $m+2$、$m+3$ 两个完整块，

$$xqC=2(m+2),\quad xq^4C=2(m+3)\ \Rightarrow\ q^3=\frac{m+3}{m+2}\le\frac32\ (m=0)$$

③ $k=3m\ (m\ge1)$：含第 $m+1$、$m+2$ 两个完整块，

$$xqC=2(m+1),\quad xq^4C=2(m+2)\ \Rightarrow\ q^3=\frac{m+2}{m+1}\le\frac32\ (m=1)$$

综上 $q^3\le\dfrac32$，故 $q\le\sqrt[3]{\dfrac32}$，最大值为 $\sqrt[3]{\dfrac32}$．

【易错点】 ① 未把「前 $3n$ 项和」转化为三项块和 $T_n=2n$，找不到入口；② 遗漏 $k\equiv1\pmod3$ 情形导致结论偏大；③ 只求上界未说明最大值可取到（需验证 $m=0$ 或 $m=1$ 时构造存在）。