2024 逐题

卷系：新高考卷　|　本年数列题量：1 题　|　专题来源：数列三专题（08 小题综合 / 09 解答题一 / 10 解答题二）

统计口径：与上一轮 136 题完全一致——难度层以「解析版详解文本长度」划分（基础 <600、中档 600–1000、中高档 1000–1500、高难度 >1500）；题型按题干形态判定；方法由解析文本关键词识别。

一、本年数列题概览

二、逐题详解

第 1 题（编号 2024-1）

【题干】

设 $m$ 为正整数，数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{4m+2}$ 是公差不为 $0$ 的等差数列，若从中删去两项 $a_i$ 和 $a_j$（$i

(1) 写出所有的 $(i,j)$，$1\le i

(2) 当 $m\ge 3$ 时，证明：数列 $a_1,a_2,\ldots,a_{4m+2}$ 是 $(2,13)$-可分数列；

(3) 从 $1,2,\ldots,4m+2$ 中任取两个数 $i$ 和 $j$（$i\dfrac18$．

【答案】 (1) $(1,2),(1,6),(5,6)$　(2) 证明见解析　(3) 证明见解析

【详解】

归一化（关键第一步）

因数列同时加一个常数或乘一个非零常数后是否为等差数列不变，可作变换 $a_k=\dfrac{a_k-a_1}{d}+1=k$，

不妨设 $a_k=k\ (k=1,2,\ldots,4m+2)$，以下均在此假设下讨论．

第(1)问 —— 枚举

$m=1$ 时共 $6$ 项，删去两项后剩 $4$ 项须成等差数列，只能是 $\{1,2,3,4\}$、$\{2,3,4,5\}$、$\{3,4,5,6\}$．

对应删去的两项分别为 $(5,6)$、$(1,6)$、$(1,2)$．

故所有可能的 $(i,j)$ 为 $(1,2),(1,6),(5,6)$．

第(2)问 —— 构造分组

删去 $2$ 和 $13$ 后，剩余 $4m$ 项分两组构造：

① $\{1,4,7,10\},\{3,6,9,12\},\{5,8,11,14\}$，共 $3$ 组（公差均为 $3$）；

② $\{15,16,17,18\},\{19,20,21,22\},\ldots,\{4m-1,4m,4m+1,4m+2\}$，共 $m-3$ 组（公差均为 $1$）．

（若 $m-3=0$ 则忽略②）合计 $m$ 组，每组 $4$ 个数均成等差数列，故为 $(2,13)$-可分数列．

第(3)问 —— 计数下界 + 概率放缩

定义 $A=\{4k+1\mid k=0,1,\ldots,m\}=\{1,5,9,13,\ldots,4m+1\}$，

$B=\{4k+2\mid k=0,1,\ldots,m\}=\{2,6,10,14,\ldots,4m+2\}$．

可证：若 $i\in A,j\in B$（或反之）且 $j-i\ne 3$，则数列必为 $(i,j)$-可分数列．

满足条件的 $(i,j)$ 至少有 $m^2+2m$ 个，而总的取法为 $\mathrm{C}_{4m+2}^{2}=(2m+1)(4m+1)$，

$$P_m\ge\frac{m^2+2m}{(2m+1)(4m+1)}>\frac18$$

（通分比较：$8(m^2+2m)>(2m+1)(4m+1)=8m^2+6m+1$，即 $10m>1$，对 $m\ge1$ 恒成立）．

【易错点】 ① 未做归一化直接用 $a_k$ 讨论，陷入字母运算；② 第(1)问漏解或写出 $(2,5)$ 等错误答案；③ 第(2)问分组时 $m=3$ 的边界（②为空）未说明；④ 第(3)问只给出构造而没完成概率不等式的代数验证。